В теории узлов диаграмма узла или зацепления является альтернированной , если пересечения чередуются — под, над, под, над, и т.д., если идти вдоль каждой компоненты зацепления. Зацепление является альтернированным , если оно имеет альтернированную диаграмму.

Многие из узлов с числом пересечений , меньшим 10, являются альтернированными. Этот факт и полезные свойства альтернированных узлов, такие как гипотезы Тэйта , позволили некоторым исследователям, включая Тэйта, составить таблицы с относительно малым числом ошибок или упущений. Простейшие неальтернированные простые узлы имеют 8 пересечений (и имеется три таких узла — 8 ₁₉ , 8 ₂₀ , 8 ₂₁ ).

Существует гипотеза, что по мере возрастания числа пересечений процент неальтернированных узлов стремится к 0 экспоненциально быстро.

Альтернированные зацепления имеют важную роль в теории узлов и теории трёхмерных многообразий вследствие того, что их дополнения имеют полезные и интересные геометрические и топологические свойства. И это позволило поставить вопрос: «Что есть альтернированный узел?» . Тем самым он спрашивает, какие свойства дополнения узла, не связанные с диаграммами, могут характеризовать альтернированные узлы.

В ноябре 2015 Джошуа Эван Грин опубликовал препринт, в котором устанавливается характеризация альтернированных зацеплений в терминах определения стягивающих поверхностей, т.е. определения альтернированных зацеплений (среди которых альтернированные узлы являются специальным случаем) без использования концепции диаграмм зацеплений .

Различная геометрическая и топологическая информация открывается в альтернированных диаграммах. Простоту и зацепления легко видеть на диаграмме. Число пересечений приведённой альтернированной диаграммы является числом пересечений узла, и это одна из знаменитых гипотез Тэйта.

Альтернированная диаграмма узла находится в соответствии один-к-одному с планарным графом . Каждое пересечение связывается с ребром и половина связных компонент дополнения диаграммы связаны с вершинами.

Гипотезы Тэйта

Гипотезы Тэйта:

1. Любая приведённая диаграмма альтернированного зацепления имеет наименьшее из возможных пересечений.
2. Любые две приведённые диаграммы того же самого альтернированного узла имеют то же самое число закрученности .
3. Если даны две приведённые диаграммы D ₁ и D ₂ ориентированного простого альтернированного зацепления, D ₁ может быть преобразовано в D ₂ путём последовательности простых движений, называемых . Гипотеза известна также как гипотеза Тэйта о перевёртывании .

Первые две гипотезы Тэйта доказали Морвен Б. Тистлетвэйт , и в 1987 году, а в 1991 году тот же Тистлетвэйт и доказали гипотезу Тэйта о перевёртывании.

Гиперболический объём

, применив Тёрстона для , доказал, что любое простое неразделимое альтернированное зацепление является гиперболическим , т.е. дополнение зацепления имеет геометрию Лобачевского , если только зацепление не является торическим .

Таким образом, гиперболический объём является инвариантом многих альтернированных зацеплений. показал, что объём имеет верхние и нижние линейные границы как функции от числа регионов перекручивания на приведённой альтернирующей диаграмме.

Примечания

Литература для дальнейшего чтения

• . On Knots. — Princeton University Press, 1987. — Т. 115. — (Annals of Mathematics Studies). — ISBN 0-691-08435-1 .
• . The Knot Book: An elementary introduction to the mathematical theory of knots. — 2004. — ISBN 0-8218-3678-1 .
• . Closed incompressible surfaces in alternating knot and link complements // Topology. — 1984. — Т. 23 , вып. 1 . — С. 37–44 .
• . The volume of hyperbolic alternating link complements. With an appendix by Ian Agol and Dylan Thurston // Proc. London Math. Soc. — 2004. — Т. 88 , вып. 1 . — С. 204–224 .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• to build an alternating knot from its planar graph