Interested Article - Альфа-форма

Выпуклая оболочка, альфа-форма и минимальное остовное дерево двумерного множества данных.

Альфа-форма или -форма — это семейство кусочно-линейных простых кривых на евклидовой плоскости , ассоциированных с формой конечного множества точек. Альфа-формы первым определили Эдельсбруннер, Киркпатрик и Зайдель . Альфа-форма, ассоциированная с множеством точек, является обобщением концепции выпуклой оболочки , то есть любая выпуклая оболочка является альфа-формой, но не любая альфа-форма является выпуклой оболочкой.

Описание

Для любого вещественного числа определим концепцию обобщённого диска радиуса следующим образом:

  • Если , это замкнутая полуплоскость ;
  • Если , это замкнутый диск радиуса ;
  • Если , это замыкание дополнения диска радиуса .

Тогда ребро альфа-формы рисуется между двумя точками конечного множества, когда существует обобщённый диск радиуса , содержащий всё множество точек и обладающий свойством, что две точки лежат на его границе.

Если , то альфа-форма, ассоциированная с конечным множеством точек, является обычной выпуклой оболочкой.

Альфа-комплекс

Альфа-формы тесно связаны с альфа-комплексами, подкомплексами триангуляции Делоне множества точек.

Каждое ребро треугольника триангуляции Делоне может быть ассоциировано с характеристическим радиусом, ребром наименьшей пустой окружности, содержащей ребро треугольника. Для каждого вещественного числа -комплекс заданного множества точек является симплициальным комплексом , образованным набором рёбер и треугольников, чьи радиусы не превосходят

Объединение рёбер и треугольников в -комплексе формирует форму, близко походящую на -форму, однако она отличается тем, что имеет кусочно-линейные рёбра, а не дуги окружностей. Более того, Эдельсбруннер показал, что две формы гомотопически эквивалентны . (В этой, более поздней работе, Эдельсбруннер использовал название -форма для обозначения ячеек -комплекса, а для криволинейной формы использовал название -тело.)

Примеры

Эту технику можно применять для реконструкции поверхности Ферми из электронной спектральной функции Блоха, вычисленной на уровне Ферми , как полученной из функции Грина . Поверхность Ферми тогда определяется как множество противоположных точек пространства внутри первой зоны Бриллюэна , где сигнал наибольший. Такое определение имеет преимущество, что оно перекрывает различные случаи нарушений.

Поверхность Ферми серебра: реконструкция альфа-формы из реконструкции спектральной функции Блоха

См. также

Примечания

  1. .
  2. .

Литература

  • Akkiraju N., Edelsbrunner H., Facello M., Fu P., Mucke E. P., Varela C. Alpha shapes: definition and software // Proc. Internat. Comput. Geom. Software Workshop. — Minneapolis, 1995.
  • Herbert Edelsbrunner. Smooth surfaces for multi-scale shape representation // Foundations of software technology and theoretical computer science (Bangalore, 1995). — Berlin: Springer, 1995. — Т. 1026. — С. 391–412. — (Lecture Notes in Comput. Sci.). .
  • Herbert Edelsbrunner, David G. Kirkpatrick, Raimund Seidel. On the shape of a set of points in the plane. — IEEE Transactions on Information Theory. — 1983. — Т. 29. — С. 551–559. — doi : . .

Ссылки

  • и библиотеке алгоритмов вычислительной геометрии ( англ. Computational Geometry Algorithms Library )
  • в библиотеке GUDHI.
  • в университете Дьюка
  • — с иллюстрациями и интерактивной демонстрацией
  • — Лекции, дающие описание формальных и интуитивных аспектов имплементации альфа-форм
  • — Слайды лекций Робрерта Плесса из Вашингтонского университета
Источник —

Same as Альфа-форма