В настоящее время отсутствует единое определение точно решаемой задачи для всех разделов математики. Это обусловлено особенностями самих задач и методов поиска их решения. Вместе с тем базовые теоремы, определяющие наличие и единственность решений, строятся на общих принципах, что будет показано ниже.

Алгебраические уравнения

Решить уравнение ${\displaystyle f\left(x\right)=0}$ с неизвестным ${\displaystyle x}$ значит найти значения ${\displaystyle x}$ ( корни уравнения), нули функции ${\displaystyle f\left(x\right)}$ , удовлетворяющие этому уравнению .

Значения неизвестного ${\displaystyle x}$ , которые удовлетворяют уравнению, то есть при подстановке вместо ${\displaystyle x}$ обращают уравнение в тождество, называются корнями уравнения, а также соответствующего ему многочлена. .

Соответственно, Решением некоторого множества (системы) уравнений

${\displaystyle f_{i}\left({x_{1},x_{2},...}\right)=0\,\,,\,\,\,i=1,2,3,...}$

с неизвестными ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},....}$ называется множество значений неизвестных ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},....}$ , удовлетворяющих одновременно каждому уравнению системы. Система уравнений решена полностью, если найдены все такие решения. .

Решение является приближённым, если при подстановке в алгебраическое уравнение (систему уравнений) разница между значением правой и левой части уравнения будет ниже допустимой погрешности решения.

Дифференциальные (Интегро-дифференциальные) уравнения

В дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях каждое уравнение имеет бесконечное количество численных решений, и потому вопрос стоит о возможности описать совокупность всех численных решений данного дифференциального уравнения .

Решение ( интегрирование ) дифференциального уравнения заключается в отыскании функций ( решений , интегралов ) ${\displaystyle y\left(x\right)}$ в определённом конечном или бесконечном интервале ${\displaystyle \left({a,b}\right)}$ . Заметим, что решения могут быть проверены подстановкой в уравнение .

Интегрирование системы дифференциальных уравнений часто можно свести к интегрированию одного обыкновенного дифференциального уравнения порядка n , путём последовательного исключения ( n — 1) переменных и их производных или замены высших производных вспомогательными неизвестными функциями .

Решение является приближённым, если на всём интервале интегрирования ${\displaystyle \left({a,b}\right)}$ при подстановке решения в дифференциальное уравнение (систему уравнений) разница между значением правой и левой части уравнения будет ниже допустимой погрешности решения.

Математическая статистика

Схемы критериев с фиксированной выборкой и последовательных критериев представляют собой частные случаи решающих функций или правил поведения, связанных с принятием гипотезы (решением) по каждой выборке некоторого наблюдаемого признака .

Критерии обоснования решений

В основу поиска решений как алгебраических, так и дифференциальных уравнений положены теоремы о существовании решений и их единственности.

Теоремы существования

Для корректности постановки начальной или краевой задачи требуется доказательство существования решения, указывающее иногда и путь его построения. Существование физического явления, описываемого данным дифференциальным уравнением, может лишь подсказать, но не доказать существование решения; доказательство существования проверяет самостоятельность математической модели .

Для алгебраических уравнений теоремы существования базируются на ряде теорем. В частности, на теореме Абеля — Руффини о невозможности получить решения в радикалах для любого степенного уравнения выше пятого; на теореме о соответствии количества корней степени алгебраического уравнения; на критерии устойчивости Рауса — Гурвица , теореме Штурма , определяющих наличие у решений отрицательной действительной части, и т. д.

Для системы уравнений используются правило Крамера ; условие нетривиального решения однородных линейных уравнений с нулевой правой частью, заключающееся в обращении в ноль главного детерминанта системы; условие линейной независимости уравнений, заключающееся в равенстве количества неизвестных количеству уравнений системы; условия наличия решения как следствия равенства рангов матрицы и расширенной матрицы системы, и т. д. .

Для дифференциальных уравнений теоремы существования строятся на методе Коши , заключающемся в поиске решения в виде ряда и доказательстве сходимости этого ряда для дифференциальных уравнений при достаточно широких допущениях относительно правой части; на методе приближений Пикара , методе сжатых изображений и т. д.

Теоремы единственности решений

Данный класс теорем определяет единственность и полноту решений как алгебраических, так и интегро-дифференциальных уравнений. В частности, для дифференциальных уравнений геометрическая трактовка теорем такова: через каждую точку области D проходит единственная интегральная кривая. Для системы алгебраических уравнений теорема единственности устанавливает, что система n уравнений может иметь не более n решений. В аналитической геометрии теорема единственности определяет единственность разложения вектора по базису, как и независимость векторов базиса (полноту базиса) . В теории функций теорема единственности доказывает однозначность представления каждой совокупности точек в некоторой области конкретной аналитичской функцией . В отношении единственности представления аналитическими функциями следует учитывать, что в общем случае одна и та же совокупность точек может описываться как некоторой частной функцией, так и обобщающей её функцией, принимающей различный вид в каждой из областей определения функции. Это порождает бифуркации (ветвления) функции, а соответственно и решений моделирующей системы уравнений .

Данный класс теорем, как правило, доказывается «от противного», то есть предполагается, что при заданных условиях теоремы существует несколько решений, векторы базиса могут быть выражены друг через друга и т. д. и путём рассмотрения данного предположения приводят к выводу о некорректности сделанного предположения, чем доказывается основное утверждение теоремы о единственности решения .

Формы представления решений

Решения уравнений могут быть получены в одной из двух форм:

• Аналитическая форма
• Численный вид

Аналитическая форма всегда предпочтительней, поскольку позволяет использовать решение для прямого анализа влияния входящих в него параметров. В численном виде это затруднительно. Численные и приближённые методы решения используются в связи с тем, что диапазон точных решений существенно ограничен . Наилучший результат дают комбинированные решения, когда в основу численного метода закладывается некоторое аналитическое решение близкой задачи, которое распространяется численными методами на область задач, где аналитические решения отсутствуют. Главная опасность, которая существует в данном комбинированном методе, заключается в неучёте особенностей перехода от точно решаемой к численно решаемой задаче. В частности, существующие приближённые решения для динамических систем с сосредоточенными параметрами, через известные аналитические решения для систем с распределёнными параметрами, содержат систематическую ошибку по фазе колебаний, которая возникает в связи с тем, что при предельном переходе от систем с сосредоточенными параметрами к системам с распределёнными параметрами фазовые соотношения трансформируются таким образом, что при обратном переходе невосстановимы .

Примечания