Interested Article - Быстрота
- 2021-09-12
- 1
Быстрота́ ( англ. rapidity , иногда применяются также термины гиперскорость и угол лоренцева поворота ) — в релятивистской кинематике монотонно возрастающая функция скорости , которая стремится к бесконечности, когда скорость стремится к скорости света . В отличие от скорости, для которой закон сложения нетривиален, для быстроты характерен простой закон сложения («быстрота аддитивна»). Поэтому в задачах, связанных с релятивистскими движениями (например, кинематика реакций частиц в физике высоких энергий ), часто удобнее пользоваться формализмом быстрот, а не обычных скоростей.
Определение и свойства
Быстрота выражается формулой:
где
- — быстрота,
- — обычная скорость,
- — скорость света,
- — ареатангенс .
Ареатангенс (или гиперболический арктангенс ) определён в области значений аргумента от −1 до +1; при функция
Таким образом, быстрота имеет размерность скорости и при изменении скорости от до меняется от до . Иногда вводят также параметр быстроты — безразмерную величину , которую иногда также называют быстротой (особенно при обычном в физике высоких энергий использовании системы единиц, где , которая значительно упрощает формулы; при таком определении быстрота становится безразмерной и совпадает с параметром быстроты).
В пределе малых скоростей быстрота примерно равна скорости:
- при .
В ультрарелятивистском случае параметр быстроты можно выразить через энергию и продольный импульс (где α — угол вылета) следующим образом:
При этом энергия и продольный импульс частицы могут быть выражены через массу частицы, поперечный импульс и параметр быстроты:
Фактор Лоренца
Связанная с быстротой часто используемая величина — фа́ктор Ло́ренца , или ло́ренц-фа́ктор , названный по имени Г. А. Лоренца и определяемый как
Лоренц-фактор равен гиперболическому косинусу параметра быстроты:
С увеличением скорости от 0 до лоренц-фактор увеличивается от 1 до .
Гиперболический синус параметра быстроты равен произведению лоренц-фактора и безразмерной скорости:
Аддитивность быстроты
Пусть в некоторой инерциальной системе отсчёта две частицы движутся вдоль одной прямой, скорость одной из них равна , а скорость второй относительно первой равна (скорости могут быть как положительными, так и отрицательными). Обозначим скорость второй частицы в системе через . При малых (по сравнению со скоростью света ) скоростях приближённо выполняется галилеевский закон сложения скоростей . Однако в релятивистском случае эта формула не действует, и скорость второй частицы необходимо вычислять с помощью лоренцевых преобразований . Релятивистский закон сложения скоростей
отличается от галилеевского знаменателем, который при малых скоростях близок к единице. Рассмотрим соответствующие скоростям быстроты . Оказывается, что быстрота второй частицы в системе отсчёта равна сумме быстрот:
Удобство записи закона сложения скоростей в терминах быстрот привело к тому, что эта величина довольно широко используется в релятивистской кинематике, особенно в ускорительной физике. Однако следует помнить, что сложение быстрот совпадает по виду с галилеевским векторным сложением скоростей только при одномерном движении частиц.
Вводится также полная быстрота аддитивная при преобразованиях Лоренца и представляющая собой расстояние в пространстве скоростей. Быстрота является продольной составляющей полной быстроты.
Геометрический смысл быстроты
В пространстве Минковского быстрота представляет собой угол между касательной к мировой линии частицы и осью времени в базовой системе отсчёта. В формализме Минковского ( ) этот угол является мнимым .
В формализме гиперболических комплексных чисел (известных также как двойные числа или паракомплексные числа — вариант комплексных чисел, в которых мнимая единица j определяется соотношением j 2 = +1 ) точка в пространстве Минковского представляется паракомплексным числом z = ρ e j φ = ρ(ch φ + j sh φ) , где φ и ρ — действительные. При этом угол φ является быстротой частицы, движущейся равномерно из начала отсчёта и проходящей через точку z , а ρ — интервалом от начала отсчёта до точки z (то есть собственным временем частицы, протекшим от прохождения через начало отсчёта до прохождения через z ). Лоренц-преобразование определяется умножением пространственно-временных координат, выраженных паракомплексными числами, на паракомплексное число с единичным модулем λ(φ) = e j φ . В результате все интервалы сохраняются, а паракомплексная плоскость Минковского поворачивается на угол φ . Два последовательных лоренц-преобразования демонстрируют аддитивность быстроты, аналогичную аддитивности угла поворота:
- λ(φ)·λ(ψ) = e j φ · e j ψ = e j (φ + ψ) = λ(φ + ψ).
Некоторые величины специальной теории относительности, выраженные через быстроту
Релятивистский импульс:
где:
- m — масса,
- c — скорость света,
- φ = θ/ c — параметр быстроты (безразмерная быстрота).
Полная энергия:
Скорость в СТО:
- Безразмерная скорость
Релятивистский эффект Доплера (если вектор скорости совпадает с направлением на источник):
где — параметр красного смещения .
См. также
Литература
- Бабурова О. В. Т. 8 . — С. 77—84 . // Соросовский образовательный журнал. — 2004. —
- Гришин В. Г. // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров . — М. : Советская энциклопедия , 1988. — Т. 1: Ааронова — Бома эффект — Длинные линии. — С. 233. — 707 с. — 100 000 экз.
Примечания
- Копылов Г. И. Основы кинематики резонансов. — М. : Наука, 1970.
- 2021-09-12
- 1