Interested Article - Быстрота

Быстрота́ ( англ. rapidity , иногда применяются также термины гиперскорость и угол лоренцева поворота ) — в релятивистской кинематике монотонно возрастающая функция скорости , которая стремится к бесконечности, когда скорость стремится к скорости света . В отличие от скорости, для которой закон сложения нетривиален, для быстроты характерен простой закон сложения («быстрота аддитивна»). Поэтому в задачах, связанных с релятивистскими движениями (например, кинематика реакций частиц в физике высоких энергий ), часто удобнее пользоваться формализмом быстрот, а не обычных скоростей.

Определение и свойства

Быстрота выражается формулой:

где

  • — быстрота,
  • — обычная скорость,
  • — скорость света,
  • ареатангенс .

Ареатангенс (или гиперболический арктангенс ) определён в области значений аргумента от −1 до +1; при функция

Таким образом, быстрота имеет размерность скорости и при изменении скорости от до меняется от до . Иногда вводят также параметр быстроты безразмерную величину , которую иногда также называют быстротой (особенно при обычном в физике высоких энергий использовании системы единиц, где , которая значительно упрощает формулы; при таком определении быстрота становится безразмерной и совпадает с параметром быстроты).

В пределе малых скоростей быстрота примерно равна скорости:

при .

В ультрарелятивистском случае параметр быстроты можно выразить через энергию и продольный импульс (где α — угол вылета) следующим образом:

При этом энергия и продольный импульс частицы могут быть выражены через массу частицы, поперечный импульс и параметр быстроты:


Фактор Лоренца

Связанная с быстротой часто используемая величина — фа́ктор Ло́ренца , или ло́ренц-фа́ктор , названный по имени Г. А. Лоренца и определяемый как

Лоренц-фактор равен гиперболическому косинусу параметра быстроты:

С увеличением скорости от 0 до лоренц-фактор увеличивается от 1 до .

Гиперболический синус параметра быстроты равен произведению лоренц-фактора и безразмерной скорости:

Аддитивность быстроты

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчёта две частицы движутся вдоль одной прямой, скорость одной из них равна , а скорость второй относительно первой равна (скорости могут быть как положительными, так и отрицательными). Обозначим скорость второй частицы в системе через . При малых (по сравнению со скоростью света ) скоростях приближённо выполняется галилеевский закон сложения скоростей . Однако в релятивистском случае эта формула не действует, и скорость второй частицы необходимо вычислять с помощью лоренцевых преобразований . Релятивистский закон сложения скоростей

отличается от галилеевского знаменателем, который при малых скоростях близок к единице. Рассмотрим соответствующие скоростям быстроты . Оказывается, что быстрота второй частицы в системе отсчёта равна сумме быстрот:

Удобство записи закона сложения скоростей в терминах быстрот привело к тому, что эта величина довольно широко используется в релятивистской кинематике, особенно в ускорительной физике. Однако следует помнить, что сложение быстрот совпадает по виду с галилеевским векторным сложением скоростей только при одномерном движении частиц.

Вводится также полная быстрота аддитивная при преобразованиях Лоренца и представляющая собой расстояние в пространстве скоростей. Быстрота является продольной составляющей полной быстроты.

Геометрический смысл быстроты

В пространстве Минковского быстрота представляет собой угол между касательной к мировой линии частицы и осью времени в базовой системе отсчёта. В формализме Минковского ( ) этот угол является мнимым .

В формализме гиперболических комплексных чисел (известных также как двойные числа или паракомплексные числа — вариант комплексных чисел, в которых мнимая единица j определяется соотношением j 2 = +1 ) точка в пространстве Минковского представляется паракомплексным числом z = ρ e j φ = ρ(ch φ + j sh φ) , где φ и ρ — действительные. При этом угол φ является быстротой частицы, движущейся равномерно из начала отсчёта и проходящей через точку z , а ρ интервалом от начала отсчёта до точки z (то есть собственным временем частицы, протекшим от прохождения через начало отсчёта до прохождения через z ). Лоренц-преобразование определяется умножением пространственно-временных координат, выраженных паракомплексными числами, на паракомплексное число с единичным модулем λ(φ) = e j φ . В результате все интервалы сохраняются, а паракомплексная плоскость Минковского поворачивается на угол φ . Два последовательных лоренц-преобразования демонстрируют аддитивность быстроты, аналогичную аддитивности угла поворота:

λ(φ)·λ(ψ) = e j φ · e j ψ = e j (φ + ψ) = λ(φ + ψ).

Некоторые величины специальной теории относительности, выраженные через быстроту

Релятивистский импульс:

где:

  • m — масса,
  • c — скорость света,
  • φ = θ/ c — параметр быстроты (безразмерная быстрота).

Полная энергия:

Скорость в СТО:

Безразмерная скорость

Релятивистский эффект Доплера (если вектор скорости совпадает с направлением на источник):

где — параметр красного смещения .

См. также

Литература

  • Бабурова О. В. // Соросовский образовательный журнал. — 2004. — Т. 8 . — С. 77—84 . Открытый доступ
  • Гришин В. Г. // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров . — М. : Советская энциклопедия , 1988. — Т. 1: Ааронова — Бома эффект — Длинные линии. — С. 233. — 707 с. — 100 000 экз.

Примечания

  1. Копылов Г. И. Основы кинематики резонансов. — М. : Наука, 1970.
Источник —

Same as Быстрота