Проверка статистических гипотез
является содержанием одного из обширных классов задач
математической статистики
.
Статистическая гипотеза
—
гипотеза
о виде
распределения
и свойствах
случайной величины
, которую можно подтвердить или опровергнуть применением
статистических методов
к данным
выборки
.
Статистические гипотезы
Определения
Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению
случайная величина
,
распределение
которой
полностью или частично неизвестно. Тогда любое утверждение относительно
называется
статистической гипотезой
. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:
-
Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение
, то есть
, где
— какой-то конкретный закон, называется
простой
.
-
Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения
к некоторому семейству распределений, то есть вида
, где
— семейство распределений, называется
сложной
.
На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и, как правило, простую гипотезу
. Такую гипотезу принято называть
нулевой
. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза
, называемая
конкурирующей
или
альтернативной
.
Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют
критерии
, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.
В большинстве случаев статистические критерии основаны на
случайной выборке
фиксированного объема
для распределения
. В
последовательном анализе
выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её размер является
случайной величиной
(см.
Последовательный статистический критерий
).
Пример
Пусть дана
независимая
выборка
из
нормального распределения
, где
— неизвестный параметр. Тогда
, где
— фиксированная
константа
, является простой гипотезой, а конкурирующая с ней
— сложной.
Этапы проверки статистических гипотез
-
Формулировка основной гипотезы
и конкурирующей гипотезы
.
-
Задание
уровня значимости
, на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о справедливости гипотезы. Он равен вероятности допустить
ошибку первого рода
.
-
Расчёт статистики
критерия такой, что:
-
её величина зависит от исходной выборки
;
-
по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы
;
-
статистика
, как функция случайной величины
, также является
случайной величиной
и подчиняется какому-то закону
распределения
.
-
Построение критической области. Из области значений
выделяется подмножество
таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство
. Это множество
и называется
критической областью
.
-
Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику
и по попаданию (или непопаданию) в критическую область
выносится решение об отвержении (или не отвержении) выдвинутой гипотезы
.
Виды критической области
Выделяют три вида критических областей:
-
Двусторонняя критическая область
определяется двумя интервалами
, где
находят из условий
.
-
Левосторонняя критическая область
определяется интервалом
, где
находят из условия
.
-
Правосторонняя критическая область
определяется интервалом
, где
находят из условия
.
См. также
Примечания
-
↑
Ивановский Р.
Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad. — 528 с. — (Учебное пособие). —
ISBN 978-5-9775-0199-6
.
Литература
Ссылки на внешние ресурсы
|
|
|
Словари и энциклопедии
|
|
В библиографических каталогах
|
|