Проверка статистических гипотез является содержанием одного из обширных классов задач математической статистики .

Статистическая гипотеза — гипотеза о виде распределения и свойствах случайной величины , которую можно подтвердить или опровергнуть применением статистических методов к данным выборки .

Статистические гипотезы

Определения

Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина ${\displaystyle X}$ , распределение которой ${\displaystyle \mathbb {P} }$ полностью или частично неизвестно. Тогда любое утверждение относительно ${\displaystyle \mathbb {P} }$ называется статистической гипотезой . Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

• Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение ${\displaystyle \mathbb {P} }$ , то есть ${\displaystyle H:\;\{\mathbb {P} =\mathbb {P} _{0}\}}$ , где ${\displaystyle \mathbb {P} _{0}}$ — какой-то конкретный закон, называется простой .

• Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения ${\displaystyle \mathbb {P} }$ к некоторому семейству распределений, то есть вида ${\displaystyle H:\;\{\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}\}}$ , где ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ — семейство распределений, называется сложной .

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и, как правило, простую гипотезу ${\displaystyle H_{0}}$ . Такую гипотезу принято называть нулевой . При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза ${\displaystyle H_{1}}$ , называемая конкурирующей или альтернативной .

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии , позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$ фиксированного объема ${\displaystyle n\geq 1}$ для распределения ${\displaystyle \mathbb {P} }$ . В последовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её размер является случайной величиной (см. Последовательный статистический критерий ).

Пример

Пусть дана независимая выборка ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})\sim {\mathcal {N}}(\mu ,1)}$ из нормального распределения , где ${\displaystyle \mu }$ — неизвестный параметр. Тогда ${\displaystyle H_{0}:\;\{\mu =\mu _{0}\}}$ , где ${\displaystyle \mu _{0}}$ — фиксированная константа , является простой гипотезой, а конкурирующая с ней ${\displaystyle H_{1}:\;\{\mu >\mu _{0}\}}$ — сложной.

Этапы проверки статистических гипотез

1. Формулировка основной гипотезы ${\displaystyle H_{0}}$ и конкурирующей гипотезы ${\displaystyle H_{1}}$ .
2. Задание уровня значимости ${\displaystyle \alpha }$ , на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о справедливости гипотезы. Он равен вероятности допустить ошибку первого рода .
3. Расчёт статистики ${\displaystyle \phi }$ критерия такой, что:
   • её величина зависит от исходной выборки ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n}):\;\phi =\phi (X_{1},\ldots ,X_{n})}$ ;
   • по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы ${\displaystyle H_{0}}$ ;
   • статистика ${\displaystyle \phi }$ , как функция случайной величины ${\displaystyle \mathbf {X} }$ , также является случайной величиной и подчиняется какому-то закону распределения .
4. Построение критической области. Из области значений ${\displaystyle \phi }$ выделяется подмножество ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство ${\displaystyle P(\phi \in {\mathcal {C}})=\alpha }$ . Это множество ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ и называется критической областью .
5. Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику ${\displaystyle \phi }$ и по попаданию (или непопаданию) в критическую область ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ выносится решение об отвержении (или не отвержении) выдвинутой гипотезы ${\displaystyle H_{0}}$ .

Виды критической области

Выделяют три вида критических областей:

• Двусторонняя критическая область определяется двумя интервалами ${\displaystyle (-\infty ,\;x_{\alpha /2})\cup (x_{1-\alpha /2}\;+\infty )}$ , где ${\displaystyle x_{\alpha /2},\;x_{1-\alpha /2}}$ находят из условий ${\displaystyle P(\phi <x_{\alpha /2})={\frac {\alpha }{2}},\quad P(\phi >x_{1-\alpha /2})=1-{\frac {\alpha }{2}}}$ .
• Левосторонняя критическая область определяется интервалом ${\displaystyle (-\infty ,\;x_{\alpha })}$ , где ${\displaystyle x_{\alpha }}$ находят из условия ${\displaystyle P(\phi <x_{\alpha })=\alpha }$ .
• Правосторонняя критическая область определяется интервалом ${\displaystyle (x_{1-\alpha },\;+\infty )}$ , где ${\displaystyle x_{1-\alpha }}$ находят из условия ${\displaystyle P(\phi <x_{1-\alpha })=1-\alpha }$ .

См. также

• Ошибки первого и второго рода
• Статистический критерий
• Уровень значимости
• Статистическая мощность
• Квантиль

Примечания

Литература

• // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов . — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.