Непараметрический критерий согласия Ватсона является развитием критерия согласия Крамера — Мизеса — Смирнова . Критерий был предложен для проверки простых гипотез о принадлежности анализируемой выборки полностью известному закону , то есть для проверки гипотез вида ${\displaystyle H_{0}:F_{n}(x)=F(x,\theta )}$ с известным вектором параметров теоретического закона.

В критерии Ватсона используется статистика вида :

${\displaystyle U_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left(F(x_{i},\theta )-{\frac {i-0,5}{n}}\right)^{2}-n\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}F(x_{i},\theta )-0,5\right)^{2}+{\frac {1}{12n}}}$ ,

где ${\displaystyle n}$ — объём выборки, ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ — упорядоченные по возрастанию элементы выборки.

При справедливости простой проверяемой гипотезы статистика ${\displaystyle U_{n}^{2}}$ в пределе подчиняется распределению:

${\displaystyle G(u)=1-2\sum _{m=1}^{\infty }(-1)^{m-1}e^{-2m^{2}\pi ^{2}u}}$ .

Чтобы уменьшить зависимость распределения статистики от объёма выборки, можно использовать в критерии модификацию статистики вида

${\displaystyle U_{n}^{2*}=\left(U_{n}^{2}-0,1/n+0,1/n^{2}\right)(1+0,8/n)}$ .

Однако следует подчеркнуть, что зависимость распределения статистики ${\displaystyle U_{n}^{2}}$ от объема выборки выражена слабо. При ${\displaystyle n>20}$ отличием распределения статистики ${\displaystyle U_{n}^{2}}$ от предельного распределения можно пренебречь. При проверке простых гипотез критерий Ватсона по мощности несколько выигрывает у критерия Крамера-Мизеса-Смирнова

При проверке простых гипотез критерий является свободным от распределения, то есть не зависит от вида закона, с которым проверяется согласие.

Проверяемая гипотеза отклоняется при больших значениях статистики.

Проверка сложных гипотез

При проверке сложных гипотез вида ${\displaystyle H_{0}:F_{n}(x)\in \left\{F(x,\theta ),\theta \in \Theta \right\}}$ , где оценка ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ скалярного или векторного параметра распределения ${\displaystyle F(x,\theta )}$ вычисляется по той же самой выборке, критерий согласия Ватсона (как и все непараметрические критерии согласия) теряет свойство свободы от распределения .

При проверке сложных гипотез распределения статистик непараметрических критериев согласия зависят от ряда факторов: от вида наблюдаемого закона ${\displaystyle F(x,\theta )}$ , соответствующего справедливой проверяемой гипотезе ${\displaystyle H_{0}}$ ; от типа оцениваемого параметра и числа оцениваемых параметров; в некоторых случаях от конкретного значения параметра (например, в случае семейств гамма- и бета-распределений); от метода оценивания параметров. Различия в предельных распределениях статистики при проверке простых и сложных гипотез очень существенны, поэтому пренебрегать этим ни в коем случае нельзя .

См. также

• Критерий согласия Колмогорова
• Критерий Крамера — Мизеса — Смирнова
• Критерий Андерсона-Дарлинга
• Критерий согласия Купера
• Критерий согласия Пирсона

Примечания