Контекстно-свободная грамматика ( КС-грамматика , бесконтекстная грамматика ) — частный случай формальной грамматики (тип 2 по иерархии Хомского ), у которой левые части всех продукций являются одиночными нетерминалами (объектами, обозначающими какую-либо сущность языка (например: формула, арифметическое выражение, команда) и не имеющими конкретного символьного значения). Смысл термина «контекстно-свободная» заключается в том, что есть возможность применить продукцию к нетерминалу, причём независимо от контекста этого нетерминала (в отличие от общего случая неограниченной грамматики Хомского).

Язык , который может быть задан КС-грамматикой, называется контекстно-свободным языком или КС-языком.

По сути КС-грамматика — другая форма БНФ .

Применение

КС-грамматики находят большое применение в информатике . Ими задаётся грамматическая структура большинства языков программирования , структурированных данных и т. д. (см. грамматический анализ )

Для разбора КС-грамматики достаточно автомата с магазинной памятью , для разбора не-КС-грамматик может потребоваться полная машина Тьюринга .

Типы КС грамматик

• LL-грамматика
• (см.: LALR(1) )
• (см.: SLR(1) )

Распознаватели

Существуют два разных класса распознавателей (автоматов для распознавания) КС-языков. Их названия связаны с порядком построения дерева вывода. Как правило, все распознаватели читают входную цепочку символов слева направо, поскольку предполагается такая нотация в написании исходного текста программ.

Нисходящие распознаватели

Нисходящие распознаватели, которые порождают цепочки левостороннего вывода и строят дерево вывода сверху вниз.

Они используют модификации алгоритма с подбором альтернатив. При их создании применяется метод, который позволяет однозначно выбрать одну и только одну альтернативу на каждом шаге работы МП-автомата (шаг «выброс» в этом автомате всегда выполняется однозначно).

Восходящие распознаватели

Восходящие распознаватели, которые порождают цепочки правостороннего вывода и строят дерево вывода снизу вверх.

Восходящие распознаватели используют модификации алгоритма «сдвиг-свертка» (или «перенос-свертка», что то же самое). При их создании применяются методы, которые позволяют однозначно выбрать между выполнением «сдвига» («переноса») или «свертки» на каждом шаге работы расширенного МП-автомата, а при выполнении свертки однозначно выбрать правило, по которому будет производиться свертка. Алгоритм «сдвиг-свертка».

Примеры

Примеры КС-грамматик и соответствующих им КС-языков:

Слово с переворотом

Задаётся формулой ${\displaystyle L=\{w\in \Sigma ^{*}|w=w^{R}\}}$

• Терминалы: буквы алфавита ${\displaystyle \Sigma }$ ;
• Нетерминал: ${\displaystyle S}$ ;
• Продукции: ${\displaystyle S\rightarrow \alpha S\alpha \,|\,\alpha \,|\,\varepsilon ,\alpha \in \Sigma }$
• Начальный нетерминал — ${\displaystyle S}$ .

Вложенные скобки

• Терминалы: ${\displaystyle (}$ и ${\displaystyle )}$ ;
• нетерминал: ${\displaystyle S}$ ;
• продукции: ${\displaystyle S\rightarrow (S)\mid \varepsilon }$ ;
• начальный нетерминал — ${\displaystyle S}$ .

Этой грамматикой задаётся язык вложенных скобок ${\displaystyle \{\left(^{n}\right)^{n}\mid n\geq 0\}}$ .

Язык Дика

Арифметическое выражение

• Терминалы: '+', '-', '*', '/', '(', ')', 'x'
• нетерминалы: <выражение>, <слагаемое>, <множитель>
• продукции:

<выражение> → <выражение> + <слагаемое>,
<выражение> → <выражение> - <слагаемое>,
<выражение> → <слагаемое>,
<слагаемое> → <слагаемое> * <множитель>,
<слагаемое> → <слагаемое> / <множитель>,
<слагаемое> → <множитель>,
<множитель> → ( <выражение> ),
<множитель> → x,

• начальный нетерминал: <выражение>.

Этой грамматикой задаётся арифметическое выражение, содержащее простейшие арифметические действия над переменной x. Если заменить терминал 'x' на нетерминал <число>, то получится грамматика, задающая арифметическое выражение, состоящее из операций сложения, вычитания, умножения и деления над целыми числами.

Ограничения возможностей КС-грамматик

Не все языки могут быть заданы с помощью КС-грамматик. Проще всего это можно доказать так: КС-грамматики образуют счётное множество, в то время как мощность множества всех языков — континуум . Конструктивное доказательство этого же факта может быть получено, например, на основе того, что язык { a ⁿ b ⁿ c ⁿ | n ≥1} не является контекстно-свободным; однако короткого доказательства последнего утверждения, по-видимому, не существует: опубликованные доказательства опираются на теорему о разрастании для контекстно-свободных языков.

Обобщения

Грамматика сложения деревьев обобщает контекстно-свободную грамматику тем, что элементарной единицей в правилах вывода являются деревья, а не отдельные символы.

См. также

• Контекстно-зависимая грамматика
• Матричная грамматика

Литература

• Джон Хопкрофт , Раджив Мотвани, Джеффри Ульман. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений = Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. — М. : , 2002. — С. 528. — ISBN 0-201-44124-1 .
• Белоусов А. И., Ткачёв С. Б. Дискретная математика. — М. : МГТУ , 2006. — 743 с. — ISBN 5-7038-2886-4 .