Interested Article - Гомоморфизм
- 2020-09-29
- 1
Гомоморфизм (от др.-греч. ὁμός — равный, одинаковый и μορφή — вид, форма) — это морфизм в категории алгебраических систем , то есть отображение алгебраической системы А , сохраняющее основные операции и основные отношения.
Определение
Отображение называется гомоморфизмом групп , , если оно одну групповую операцию переводит в другую: , то есть образ произведения равен произведению образов.
Понятие гомоморфизма как соотношение между парой алгебраических систем начало использоваться в работах немецкого математика Фробениуса , а обобщённое определение было сформулировано Эмми Нётер в 1929 году. Частными случаями гомоморфизма являются изоморфизм и автоморфизм . Некоторая общая теория, уточняющая понятия гомоморфизма, изоморфизма и морфизма, предложена известной группой французских математиков Николя Бурбаки в их книге «Теория множеств» (Глава IV, § 2).
Связанные определения
- Гомоморфный образ — образ математического объекта, имеющего структуру полугруппы, группы, кольца, алгебры при гомоморфном отображении. Иногда говорят и о гомоморфных образах других математических объектов, например, графов.
-
Ядро
гомоморфизма
- для гомоморфизма абелевых групп (в частности, для колец , векторных пространств и т. д.) — прообраз нуля,
- для общих групп — прообраз единицы.
Свойства
Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой. Гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма (теорема о гомоморфизме).
Типы гомоморфизмов
- Мономорфизм — однозначный ( инъективный ) гомоморфизм
- Эпиморфизм — сюръективный гомоморфизм
- Биморфизм — взаимно однозначный ( биективный ) гомоморфизм
- Изоморфизм — гомоморфизм с наличием обратного гомоморфизма
- Эндоморфизм — гомоморфизм в само множество
- Автоморфизм — изоморфизм на само множество
См. также
Примечания
- Гомоморфизм // Системный анализ и принятие решений : Словарь-справочник. — М. : Высшая школа, 2004. — С. 72. — 616 с. — ББК 32.817 . — УДК . — ISBN 5-06-004875-6 .
Литература
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике — 1970, с. 332 (1974, с. 373).
- 2020-09-29
- 1