Теорема Стокса
- 1 year ago
- 0
- 0
Теорема Брауэра о неподвижной точке — важная теорема о неподвижной точке , применимая к непрерывным отображениям в конечномерных пространствах , являющаяся основной для некоторых более общих теорем.
Приоритет в открытии теоремы принадлежит Пирсу Георгиевичу Болю : в своей работе 1904 года он сформулировал и доказал теорему эквивалентную теореме о неподвижной точке и описал применение этой теоремы к теории дифференциальных уравнений . Однако его результат не был замечен. В 1909 году Брауэр переоткрыл эту теорему для случая .
Обычно теорема формулируется в следующем виде: Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.
Более подробно, рассмотрим замкнутый шар в n -мерном пространстве . Пусть — некоторое непрерывное отображение этого шара в себя (не обязательно строго внутрь себя, не обязательно биективное , т.е. даже не обязательно сюръективное ). Тогда найдется такая точка , что .
Из подсчёта гомологических или гомотопических групп сферы и шара вытекает, что не существует ретракции шара на его границу.
Пусть теперь — отображение шара в себя, не имеющее неподвижных точек. Построим на его основе ретракцию шара на его границу. Для каждой точки рассмотрим прямую, проходящую через точки и (она единственна, так как по предположению неподвижных точек нет.). Пусть — точка пересечения этой прямой с границей шара, причем лежит между и . Легко видеть, что отображение — ретракция шара на его границу. Противоречие.
|
Это
заготовка статьи
по
математике
. Помогите Википедии, дополнив её.
|