Interested Article - Теорема Брауэра о неподвижной точке

Теорема Брауэра о неподвижной точке — важная теорема о неподвижной точке , применимая к непрерывным отображениям в конечномерных пространствах , являющаяся основной для некоторых более общих теорем.

История

Приоритет в открытии теоремы принадлежит Пирсу Георгиевичу Болю : в своей работе 1904 года он сформулировал и доказал теорему эквивалентную теореме о неподвижной точке и описал применение этой теоремы к теории дифференциальных уравнений . Однако его результат не был замечен. В 1909 году Брауэр переоткрыл эту теорему для случая .

Формулировка

Обычно теорема формулируется в следующем виде: Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.

Более подробно, рассмотрим замкнутый шар в n -мерном пространстве . Пусть — некоторое непрерывное отображение этого шара в себя (не обязательно строго внутрь себя, не обязательно биективное , т.е. даже не обязательно сюръективное ). Тогда найдется такая точка , что .

Доказательство

Из подсчёта гомологических или гомотопических групп сферы и шара вытекает, что не существует ретракции шара на его границу.

Пусть теперь — отображение шара в себя, не имеющее неподвижных точек. Построим на его основе ретракцию шара на его границу. Для каждой точки рассмотрим прямую, проходящую через точки и (она единственна, так как по предположению неподвижных точек нет.). Пусть — точка пересечения этой прямой с границей шара, причем лежит между и . Легко видеть, что отображение — ретракция шара на его границу. Противоречие.

Вариации и обобщения

Следствия

Примечания

  1. Über die Bewegung eines mechanischen Systems in die Nähe einer Gleichgewichtslage (J. reine, angew. Math. 127 (1904), 179-276
  2. А. Д. Мышкис, И. М. Рабинович. // Успехи математических наук : журнал. — Российская академия наук , 1955. — Т. 10 , № 3 . — С. 188—192 .

Литература

  • Шашкин Ю. А. . — М. : Наука, 1989. — 80 с. — ( Популярные лекции по математике ). — 92 000 экз.
Источник —

Same as Теорема Брауэра о неподвижной точке