Здесь собраны наиболее важные классы матриц , используемые в математике , науке (в целом) и прикладной науке (в частности).

Под матрицей понимается прямоугольный массив чисел, называемых элементами . Матрицы имеют длинную историю исследований и приложений, что приводит к различным способам их классификации. Первая группа матриц удовлетворяет конкретным условиям и ограничениям на их элементы, включая постоянные матрицы. Важный пример матриц такого вида предоставляет единичная матрица :

${\displaystyle I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$

Обозначается также буквой E. Другие способы классификации матриц связаны либо с их собственными значениями, либо с условиями в виде матричных уравнений (соотношений). Наконец, во многих областях (в физике и в химии) встречаются матрицы специального вида, которые применяются исключительно в этих областях.

Матрицы, определяемые условиями на элементы

Данный ниже список матриц определяется условиями, которые накладываются на элементы матриц. Многие из таких свойств оказываются применимыми только к квадратным матрицам. В квадратной матрице имеются две диагонали: главная диагональ (идущая из левого верхнего угла в правый нижний угол) и побочная диагональ (идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол).

Матрицы общего вида

Матрицы, представленные ниже, характеризуются тем, что условия на элементы матриц описываются в терминах структуры матрицы. Сюда относится взаимное расположение ненулевых элементов, а также свойства инвариантности относительно матричных преобразований.

Название	Описание	Примечания, пояснения
Бинарная матрица	Матрица, состоящая из нулей и единиц.	Синонимы: булевская матрица, логическая матрица.
Матрица альтернанса	Матрица, элементы которой представляют собой значения функций в определённых точках.	${\displaystyle a_{i,j}=f_{j}(\alpha _{i})}$
Нулевая матрица	Матрица, полностью состоящая из нулей.	${\displaystyle a_{ij}=0}$
Антидиагональная матрица	Квадратная матрица, все элементы которой, лежащие вне побочной диагонали, равны нулю.
Антиэрмитова матрица	Квадратная матрица с комплексными элементами, переходящая в себя с изменением знака при операции эрмитова сопряжения (то есть при комплексном сопряжении каждого элемента и последующем транспонировании матрицы), ${\displaystyle A=-A^{*}.}$	Синоним косо-эрмитовой матрицы.
Антисимметричная матрица		Синоним кососимметричной матрицы.
	Квадратная матрица, все ненулевые элементы которой являются элементами первого столбца, первой строки или главной диагонали.
	Квадратная матрица, все ненулевые элементы которой примыкают к главной диагонали.
	Матрица, все ненулевые элементы которой находятся на главной диагонали и на одной из под- или наддиагонали.
Бисимметричная матрица	Квадратная матрица, симметричная как относительно главной диагонали, так и относительно побочной диагонали.
Блочно-диагональная матрица	Блочная матрица , у которой имеются матрицы только на главной диагонали.
Блочная матрица	Матрица, которая разбита на подматрицы, называемые блоками.
	Блочная матрица , чьи блоки организованы так же, как у трёхдиагональной матрицы .
Булевская матрица		синоним для (0,1)-матрицы, бинарной матрицы и логической матрицы.
Матрица Коши	Матрица, каждый элемент которой имеет вид ${\displaystyle a_{ij}=1/(x_{i}+y_{j}),}$ где ${\displaystyle x_{i}}$ и ${\displaystyle y_{j}}$ — две инъективные последовательности
Центросимметричная матрица	Матрица, симметричная относительно своего центра, то есть: ${\displaystyle a_{ij}=a_{n-i+1,n-j+1}}$
Конференс-матрица	Квадратная матрица с нулевыми элементами на диагонали и элементами вида +1 и −1 вне диагонали, такая, что ${\displaystyle C^{T}C}$ — единичная матрица.
	Матрица, все строки и столбцы которой попарно ортогональны друг другу, а сами элементы унимодулярны.
Положительно полуопределенная матрица	Квадратная матрица с вещественными элементами такая, что квадратичная форма ${\displaystyle x^{T}Ax}$ оказывается неотрицательной для каждого неотрицательного ${\displaystyle x}$ .	${\displaystyle f(x)=x^{T}Ax}$
Диагонально доминирующая матрица	Матрица, элементы которой удовлетворяют указанному здесь условию:	${\displaystyle |a_{ii}|\geq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|\quad {\text{for all }}i,}$
Диагональная матрица	Матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.
	Матрица, которая получается из единичной при помощи элементарных преобразований.
	Матрица, которая получается из другой матрицы при помощи элементарных преобразований над строками или столбцами.
Матрица Фробениуса	Матрица, которая получается из единичной при помощи сдвига и добавления нового столбца.
Эрмитова матрица , эрмитово-самосопряжённая матрица	Квадратная матрица с комплексными элементами, переходящая в себя при операции эрмитова сопряжения (то есть при комплексном сопряжении каждого элемента и последующем транспонировании матрицы), ${\displaystyle A=A^{*}.}$
Неотрицательная матрица	Матрица, все элементы которой неотрицательны.
Матрица перестановки	Квадратная матрица, в которой в каждом столбце и в каждой строке стоит ровно одна единица, а остальные нули. Является матричным представлением перестановки.
	Квадратная матрица с ровно одним ненулевым элементом в каждой строке и в каждом столбце.
Персимметричная матрица	Матрица, симметричная относительно побочной диагонали: ${\displaystyle a_{ij}=a_{n-j+1,n-i+1}.}$
Полиномиальная матрица	Матрица, все элементы которой суть полиномы.
Положительная матрица	Матрица, все элементы которой положительны.
Матрица кватернионов	Матрица, все элементы которой представляют собой кватернионы .
	Матрица, все элементы которой равны 1, 0 или −1.
	Матрица, все элементы которой равны либо 1, либо −1.
Косоэрмитова матрица	Квадратная комплексная матрица, которая меняет знак при эрмитовом сопряжении .	То же, что и антиэрмитова матрица .
Кососимметричная матрица	Квадратная матрица, которая меняет знак при транспонировании, ${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}.}$	То же, что и антисимметричная матрица .
	, реорганизованная таким образом, чтобы уменьшить занимаемое пространство.
Разреженная матрица	Матрица, практически полностью состоящая из нулей.	Алгоритмы для разреженных матриц позволяют обрабатывать бо́льшие матрицы, чем для плотных
Матрица Сильвестра	Квадратная матрица , чьи элементы — это коэффициенты двух полиномов.	Матрица Сильвестра не вырождена тогда и только тогда, когда два полинома взаимно просты .
Симметричная матрица	Квадратная матрица , которая совпадает со своей транспонированной: ${\displaystyle A=A^{T}}$ ( ${\displaystyle a_{i,j}=a_{j,i}}$ ).
Тёплицева матрица	Матрица, у которой на диагоналях стоят одни и те же элементы.
Треугольная матрица	Матрица, у которой все элементы выше главной диагонали нулевые (нижнетреугольная матрица), или матрица, у которой все элементы ниже главной диагонали нулевые (верхнетреугольная матрица).
Трёхдиагональная матрица	Матрица, у которой все ненулевые элементы располагаются на трёх диагоналях: главной, первой сверху и первой снизу.
Унитарная матрица	Квадратная комплексная матрица, обращение которой даёт эрмитово-сопряжённую матрицу , ${\displaystyle A^{-1}=A^{*}.}$
	Унитарная матрица , определитель которой равен единице
Матрица Вандермонда	Матрица, строки (или столбцы) которой представляют собой последовательные степени: 1, a , a 2 , a 3 , …, a n
	Квадратная матрица размера, равного степени двойки, состоящая из элементов +1 или −1.
Z-матрица	Матрица, все недиагональные элементы которой меньше нуля.
Ганкелева матрица	Квадратная матрица, у которой на каждой побочной диагонали стоят равные элементы.

Постоянные матрицы

Матрицы, представленные ниже, характеризуются тем, что их элементы являются одними и теми же для всех возможных размеров матриц.

Название	Описание	Условия на элементы	Примечания
Обменная матрица	Бинарная матрица , у которой на побочной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы нулевые.	${\displaystyle a_{ij}=\delta _{n+1-i,j}}$	См. Матрица перестановки .
Матрица Гильберта		${\displaystyle a_{ij}={(i+j-1)}^{-1}}$	См. Ганкелева матрица .
Единичная матрица	Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю.	${\displaystyle a_{ij}=\delta _{ij}}$
Матрица Лемера		a ij = min( i, j ) ÷ max( i, j )	См. положительную симметричную матрицу .
Матрица единиц	Матрица, все элементы которой суть единицы.	${\displaystyle a_{ij}=1}$
Матрица Паскаля	Матрица, состоящая из элементов треугольника Паскаля .
Матрица Паули	Блочная матрица, состоящая из блоков размера 2 × 2, каждый из которых представляет собой комплексную эрмитовую и унитарную матрицу.
Матрица Редхеффера		a ij = 1, если i делится на j или если j = 1; в противном случае, a ij = 0.	См. (0, 1)-матрица .
Матрица сдвига	Матрица, у которой на одной из побочных диагоналях стоят единицы, а остальные элементы нулевые.	${\displaystyle a_{ij}=\delta _{i+1,j}}$ или ${\displaystyle a_{ij}=\delta _{i-1,j}}$	Умножением на эту матрицу элементы сдвигаются на одну позицию.
Нулевая матрица	Матрица, у которой все элементы нулевые.	${\displaystyle a_{ij}=0}$

Преобразованные матрицы

• Обратная матрица
• Транспонированная матрица
• Эрмитово-сопряжённая матрица
• Присоединённая матрица

Матрицы, удовлетворяющие условиям на произведения или обратные матрицы

Матрицы, используемые в теории графов

• Матрица смежности
• Матрица бисмежности
• Матрица степени
• Матрица Эдмондса
• Матрица инцидентности
• Матрица Кирхгофа (матрица Лапласа)
• Матрица смежности Зейделя
• Матрица Татта

Матрицы, используемые в физике

• Матрицы Кабибо-Кобаяши-Москавы
• Гамма матрицы Дирака
• Матрицы Паули
• Матрицы Гелл-Манна
• S-матрица
• Матрица плотности

Ссылки

Литература

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — М. : Физматлит, 2004. — 560 с. — ISBN 5-9221-0524-8 .
• Ланкастер П. Теория матриц. — М. : Наука , 1973.