Дифференциальные формы в электромагнетизме — одна из возможных математических формулировок классической электродинамики при помощи дифференциальных форм в четырёхмерном пространстве-времени.

Рассмотрим 2-форму Фарадея , соответствующую тензору электромагнитного поля :

${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{ab}\,{\mathrm {d} }x^{a}\wedge {\mathrm {d} }x^{b}.}$

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1) , с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория . 3-форма тока , дуальная к 4-вектору тока, имеет вид

${\displaystyle {\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{abcd}\,{\mathrm {d} }x^{b}\wedge {\mathrm {d} }x^{c}\wedge {\mathrm {d} }x^{d}.}$

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

${\displaystyle \mathrm {d} \,{\textbf {F}}={\textbf {0}}}$ ,

${\displaystyle \mathrm {d} \,{*{\textbf {F}}}={*{\textbf {J}}}}$ ,

где ${\displaystyle *}$ — оператор звезды Ходжа . Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма ${\displaystyle *\mathbf {F} }$ также называется 2-формой Максвелла .

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики, М.: Едиториал УРСС, 2003. — ISBN 5-354-00341-5
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971
• Болибрух А. А. , МЦНМО, 2002.

См. также

• Диада ( англ. )
• Двухэлементный тензор ( англ. )
• Умножение двухэлементного тензора ( англ. )
• Кватернион
• Внешняя алгебра