Случай равенства также называется
тождеством Птолемея
.
О доказательствах
Один из вариантов доказательства неравенства основан на применении
инверсии
относительно окружности с центром в точке
; этим неравенство Птолемея сводится к
неравенству треугольника
для образов точек
,
,
.
Теорема Птолемея может доказываться следующим способом (близким к доказательству самого Птолемея, приведённому им в книге
Альмагест
) — ввести точку
такую, что
, а потом через
подобие треугольников
.
Теорема Помпею
.
Рассмотрим точку
и
правильный треугольник
. Тогда из отрезков
,
и
можно составить треугольник, причём этот
треугольник
вырожденный тогда и только тогда, когда точка
лежит на описанной окружности треугольника
.
Если AC —
диаметр
окружности, то теорема превращается в правило
синуса
суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.
Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если
произвольные точки плоскости (это обобщение называют
теоремой Птолемея для шестиугольника
, а в зарубежной литературе
теоремой Фурмана
(Fuhrmann’s theorem)
), то
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда
— вписанный шестиугольник.
Теорема Кейси
(
обобщённая теорема Птолемея
): Рассмотрим окружности
и
, касающиеся данной окружности в вершинах
и
выпуклого четырёхугольника
. Пусть
— длина общей касательной к окружностям
и
(внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее);
и т. д.
определяются аналогично. Тогда
от 17 декабря 2004 на
Wayback Machine
. Дистанционный консультационный пункт по математике
МЦНМО
.
(неопр.)
. Дата обращения: 17 мая 2011.
26 мая 2009 года.
Howorka, Edward (1981), "A characterization of Ptolemaic graphs (Характеризация графов Птолемея)",
Journal of Graph Theory
,
5
(3): 323—331,
doi
:
,
MR
.
Литература
Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. —
М.
:
Просвещение
, 1991. — С. 328-329. — 383 с. —
ISBN 5-09-001287-3
.