Interested Article - Неравенство Птолемея

Если 4 точки не лежат на одной окружности, то все три неравенства Птолемея строгие.

Неравенство Птолемея — неравенство на 6 расстояний между четвёркой точек на плоскости.

Названо в честь позднеэллинистического математика Клавдия Птолемея .

Формулировка

Для любых точек плоскости выполнено неравенство

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда — выпуклый вписанный четырёхугольник , или точки лежат на одной прямой.

Замечания

  • Случай равенства также называется тождеством Птолемея .

О доказательствах

  • Один из вариантов доказательства неравенства основан на применении инверсии относительно окружности с центром в точке ; этим неравенство Птолемея сводится к неравенству треугольника для образов точек , , .
  • Существует способ доказательства через прямую Симсона .
  • Теорема Птолемея может доказываться следующим способом (близким к доказательству самого Птолемея, приведённому им в книге Альмагест ) — ввести точку такую, что , а потом через подобие треугольников .
  • Теорема также является следствием из соотношения Бретшнайдера .

Следствия

  • Теорема Помпею . Рассмотрим точку и правильный треугольник . Тогда из отрезков , и можно составить треугольник, причём этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка лежит на описанной окружности треугольника .
  • Если AC — диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.

Вариации и обобщения

  • Соотношение Бретшнайдера
  • Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если произвольные точки плоскости (это обобщение называют теоремой Птолемея для шестиугольника , а в зарубежной литературе теоремой Фурмана (Fuhrmann’s theorem) ), то
Обобщенная теорема Птолемея или теорема Кейси
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда — вписанный шестиугольник.
  • Теорема Кейси ( обобщённая теорема Птолемея ): Рассмотрим окружности и , касающиеся данной окружности в вершинах и выпуклого четырёхугольника . Пусть — длина общей касательной к окружностям и (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); и т. д. определяются аналогично. Тогда
.
Циклический граф , в котором все расстояния удовлетворяют неравенству Птолемея , называют графом Птолемея

См. также

Примечания

  1. от 26 мая 2009 на Wayback Machine . Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО .
  2. от 17 декабря 2004 на Wayback Machine . Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО .
  3. . Дата обращения: 17 мая 2011. 26 мая 2009 года.
  4. Howorka, Edward (1981), "A characterization of Ptolemaic graphs (Характеризация графов Птолемея)", Journal of Graph Theory , 5 (3): 323—331, doi : , MR .

Литература

Источник —

Same as Неравенство Птолемея