Теорема Штейнера — классическая теорема геометрии треугольника, обобщение теоремы о биссектрисе . Названа в честь Якоба Штейнера .

Формулировка

Пусть через вершину ${\displaystyle A}$ треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ внутри него проведены две прямые, образующие равные углы со сторонами ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle AC}$ и пересекающие сторону ${\displaystyle BC}$ в точках ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ . Тогда

${\displaystyle {\frac {BM}{CM}}\cdot {\frac {BN}{CN}}=\left({\frac {AB}{AC}}\right)^{2}}$ .

Важный частный случай теоремы

Из теоремы Штейнера, как частный случай, получается теорема о биссектрисе . Действительно, пусть в сформулированной выше теореме точки M и N совпадают, образуя точку D , тогда они являются основанием биссектрисы, опущенной из вершины A на сторону BC . В этом частном случае мы имеем ${\displaystyle {\frac {BD}{CD}}\cdot {\frac {BD}{CD}}=\left({\frac {AB}{AC}}\right)^{2}}$ . Извлекая квадратный корень из обеих частей, имеем ${\displaystyle {\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}}$ , что и составляет суть теоремы о биссектрисе.

Литература

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М. : МЦНМО , 2004. — С. 32. — ISBN 5-94057-170-0 .

См. также

• Кривая Штейнера
• Теорема Гюйгенса — Штейнера
• Теорема Мардена
• Теорема Штейнера — Лемуса
• Теорема Штейнера — Понселе
• Точка Штейнера
• Треугольник
• Эллипс Штейнера