Интегральное уравнение Фре́дгольма — интегральное уравнение , ядром которого является ядро Фредгольма . Названо по имени шведского математика Ивара Фредгольма . Со временем исследование уравнения Фредгольма выросло в самостоятельный раздел функционального анализа — теорию Фредгольма , которая изучает ядра Фредгольма и операторы Фредгольма .

Общая теория

Общая теория, основанная на уравнениях Фредгольма, известна как теория Фредгольма . В теории рассматривается интегральное преобразование специального вида

${\displaystyle \psi (s)=\int \limits _{a}^{b}\!K(s,t)\varphi (t)\,dt}$

где функция ${\displaystyle K}$ называется ядром уравнения, а оператор ${\displaystyle A}$ , определяемый как

${\displaystyle A\varphi =\int \limits _{a}^{b}\!K(s,t)\varphi (t)\,dt}$ , называется оператором (или интегралом) Фредгольма.

Одним из основополагающих результатов является факт, что ядро K есть компактный оператор , известный иначе как оператор Фредгольма . Компактность может быть показана с помощью равномерной непрерывности . Как к оператору, к ядру может быть приложена спектральная теория , изучающая спектр собственных значений .

Уравнение первого рода

Неоднородное уравнение Фредгольма первого рода имеет вид:

${\displaystyle g(t)=\int \limits _{a}^{b}\!K(t,s)f(s)\,ds}$

а задача состоит в том, что при заданной непрерывной функции ядра ${\displaystyle K(t,s)}$ и функции ${\displaystyle g(t)}$ найти функцию ${\displaystyle f(s)}$ .

Если ядро является функцией разности своих аргументов, то есть ${\displaystyle K(t,s)=K(t-s)}$ , и пределы интегрирования ${\displaystyle \pm \infty }$ , тогда правая часть уравнения может быть переписана в виде свёртки функций ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle f}$ , а, следовательно, решение даётся формулой

${\displaystyle f(t)={\mathcal {F}}_{\omega }^{-1}\left[{{\mathcal {F}}_{t}[g(t)](\omega ) \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}\right]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!{{\mathcal {F}}_{t}[g(t)](\omega ) \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}e^{2\pi i\omega t}\,d\omega }$

где ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\omega }^{-1}}$ — прямое и обратное преобразования Фурье соответственно. Необходимые и достаточные условия существования решения определяет теорема Пикара .

Уравнение второго рода

Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода выглядит так:

${\displaystyle \varphi (s)=\lambda \int \limits _{a}^{b}\!K(s,t)\varphi (t)\,dt+f(s)}$ .

Задача состоит в том, чтобы, имея ядро ${\displaystyle K(t,s)}$ и функцию ${\displaystyle f(t)}$ , найти функцию ${\displaystyle \varphi (t)}$ . При этом существование решения и его множественность зависит от числа ${\displaystyle \lambda }$ , называемого характеристическим числом (обратное ему называется собственным ). Стандартный подход решения использует понятие резольвенты ; записанное в виде ряда решение известно как ряд Лиувилля — Неймана .

Примечания

Ссылки

• — из EqWorld: Мир математических уравнений.

• — из EqWorld: Мир математических уравнений.

Рекомендуемая литература

А. Д. Полянин, А. В. Манжиров. Справочник по интегральным уравнениям. Москва, Физматлит, 2003.