Interested Article - Гипотеза Борсука
![](/images/009/079/9079526/1.jpg?rand=590792)
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/e97abd871ea2793ffa98f430ed268c35.gif)
- 2021-12-16
- 2
![](/images/009/079/9079526/1.jpg?rand=960099)
Гипотеза Бо́рсука ( проблема Борсука ) — опровергнутая гипотеза в комбинаторной геометрии :
- Возможно ли произвольное тело конечного единичного диаметра в -мерном евклидовом пространстве разбить на не более чем часть так, что диаметр каждой части будет меньше 1?
Выдвинута Каролем Борсуком в 1933 году . Сыграла значительную роль в развитии комбинаторной геометрии XX века: в течение длительного периода гипотеза подтверждалась для ряда частных случаев и основные усилия были направлены на поиск доказательства в общем случае, поскольку весомых сомнений в её справедливости не возникало . Однако в 1993 году был найден контрпример .
По состоянию на 2023 год доказано, что гипотеза верна при , и неверна для , вопрос остаётся открытым для .
Положительные решения
![](/images/009/079/9079526/7.jpg?rand=633503)
Случай очевиден. Случай был доказан самим Борсуком в 1933 году, он воспользовался результатом 1929 года, согласно которому любую фигуру диаметра 1 можно поместить в правильный шестиугольник ширины 1, а такой шестиугольник в свою очередь допускает разрезание на три пятиугольника диаметра . Кроме того, Борсук доказал, что -мерный шар нельзя разделить на частей меньшего диаметра, тем самым утвердив нижнюю оценку для количества частей (доказательство основано на теореме Борсука — Улама ).
В 1946 году Хадвигер доказал справедливость гипотезы при всех для выпуклых тел с гладкой границей .
В 1947 году доказал случай для всех ограниченных тел , независимо от него в 1955 году этот же результат получил британский математик ; простое доказательство, сходное с доказательством Борсука, было найдено несколько позже Бранко Грюнбаумом и ; они доказывают, что любое тело диаметра 1 можно поместить в определённый октаэдр с отсечёнными тремя вершинами, который в свою очередь допускает разбиение на 4 части диаметра меньше 0,9888.
По меньшей мере с начала 1970-х годов гипотеза подтверждена для центрально-симметричных тел. В 1971 году Клод Роджерс доказал гипотезу для всякого множества, инвариантного относительно действия группы преобразований , оставляющих на месте правильный -мерный симплекс .
В 1993 году установил справедливость гипотезы для выпуклых тел с поясом из регулярных точек. В 1995 году им же дан положительный ответ для всех тел вращения в произвольных размерностях .
Число Борсука
Число Борсука — наименьшее число возможных частей меньшего диаметра, на которые можно разбить всякое ограниченное тело в -мерном пространстве. Параллельно с подтверждением гипотезы в частных случаях, улучшались нижние и верхние оценки для . Сравнительно легко получены оценки и . В 1983 году установил, что .
Среди асимптотических верхних оценок долгое время лучшей была оценка ( англ. ; 1965 ): ; в 1988 году Одед Шрамм установил, что:
- .
Отрицательные решения
Отрицательное решение проблемы в общем случае выявлено в 1993 году ( англ. ) и ( англ. ) , построившими контрпример в размерности и доказавшими невыполнение гипотезы для всех . Кроме того, они показали, что для достаточно больших существуют -мерные тела, которые нельзя разбить на частей меньшего диаметра. В последующие годы размерность, выше которой гипотеза не выполняется, последовательно снижалась:
- 1993 — (Калай — Кан),
- 1994 — (Нилли),
- 1997 — (Вайссбах — Грей),
- 1997 — (Райгородский) ,
- 2000 — (Вайссбах),
- 2001 — (Хинрихс),
- 2002 — (Пихурко),
- 2003 — (Хинрихс — Рихтер) ,
- 2013 — (Бондаренко) ,
- 2013 — (Йенрих) .
Для построения контпримеров во всех случаях использовались конечные множества и использованы тонкие комбинаторные результаты . Нижние оценки для минимального числа частей меньшего диаметра в большинстве контрпримеров — , в одном из результатов Райгородского (1999) эта оценка улучшена до .
Вариации и обобщения
В 1953 году Дэвид Гейл выдвинул гипотезу, что любое тело единичного диаметра в трёхмерном пространстве допускает разбиение на 4 части с диаметром:
- ,
то есть шар является «наихудшим» в этом смысле телом .
В 1971 году гипотеза Борсука подтверждена для сферического и гиперболического пространств при .
В 1991 году этот результат обобщён на произвольные размерности для центрально-симметрических выпуклых гиперповерхностей .
В 2012 году изучены аналоги проблемы Борсука в пространстве с евклидовой метрикой и с метрикой .
В 2019 году рассмотрен вопрос о разбиении произвольных ограниченных метрических пространств на заданное количество подмножеств меньшего диаметра, и выявлены критерии осуществимости и неосуществимости такого разбиения в зависимости от расстояния по метрике Громова — Хаусдорфа от заданного пространства до симплексов заданной мощности , где под симплексом понимается метрическое пространство, в котором все ненулевые расстояния одинаковы .
Примечания
- , с. 27.
- , с. 34.
- , с. 62.
- B. V. Dekster. The Borsuk conjecture holds for convex bodies with a belt of regular points // Geometriae Dedicata. — 1993. — Т. 45 . — С. 301–306 .
- B. V. Dekster. The Borsuk conjecture holds for bodies of revolution // Journal of Geometry. — 1995. — Т. 52 . — С. 64–73 .
- J. Kahn, G. Kalai. A counterexample to Borsuk’s conjecture (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). — 1993. — Vol. 29 , no. 1 . — P. 60—62 . — arXiv : .
- А. М. Райгородский. // УМН. — 1997. — Т. 52 , № 6(318) . — С. 181—182 .
- A. Hinrichs, C. Richter. // Discrete Mathematics. — 2003. — Т. 270 . — С. 137—147 . 27 сентября 2007 года.
- Andriy V. Bondarenko. On Borsuk’s conjecture for two-distance sets. — 2013. — arXiv : .
- Thomas Jenrich. A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk’s conjecture. — 2013. — arXiv : .
- .
- , с. 16.
- А. С. Рисслинг. // . — Харьков. — Т. 11 . — С. 78—83 . 9 января 2021 года.
- А. Д. Милка . Аналог проблемы Борсука // Известия вузов. Серия математическая. — 1992. — № 5 . — С. 58—63 .
- А. Б. Купавский, Е. И. Пономаренко, А. М. Райгородский. О некоторых аналогах проблемы Борсука в пространстве // Труды МФТИ. — 2012. — Т. 12 , № 1 . — С. 81—90 .
- , А. А. Тужилин . Solution to Generalized Borsuk Problem in Terms of the Gromov–Hausdorff Distances to Simplexes. — arXiv : .
Литература
- В. Г. Болтянский , И. Ц. Гохберг . . — М. : Наука, 1965. — 108 с. — (Математическая библиотечка). (содержит доказательство гипотезы в размерностях 2 и 3)
- В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг. . — М. : Наука, 1971. — 88 с.
- Б. Грюнбаум . Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. — М. : Наука, 1971.
- А. М. Райгородский . Проблема Борсука. — М. : МЦНМО , 2006. — 56 с.
- А. Б. Скопенков. // Математическое просвещение. — М. : МЦНМО, 1999. — Вып. 3 (3) .
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/e97abd871ea2793ffa98f430ed268c35.gif)
- 2021-12-16
- 2