Гипотеза Бо́рсука ( проблема Борсука ) — опровергнутая гипотеза в комбинаторной геометрии :

Возможно ли произвольное тело конечного единичного диаметра в ${\displaystyle n}$ -мерном евклидовом пространстве разбить на не более чем ${\displaystyle n+1}$ часть так, что диаметр каждой части будет меньше 1?

Выдвинута Каролем Борсуком в 1933 году . Сыграла значительную роль в развитии комбинаторной геометрии XX века: в течение длительного периода гипотеза подтверждалась для ряда частных случаев и основные усилия были направлены на поиск доказательства в общем случае, поскольку весомых сомнений в её справедливости не возникало . Однако в 1993 году был найден контрпример .

По состоянию на 2023 год доказано, что гипотеза верна при ${\displaystyle n\leqslant 3}$ , и неверна для ${\displaystyle n\geqslant 64}$ , вопрос остаётся открытым для ${\displaystyle 4\leqslant n\leqslant 63}$ .

Положительные решения

Случай ${\displaystyle n=1}$ очевиден. Случай ${\displaystyle n=2}$ был доказан самим Борсуком в 1933 году, он воспользовался результатом 1929 года, согласно которому любую фигуру диаметра 1 можно поместить в правильный шестиугольник ширины 1, а такой шестиугольник в свою очередь допускает разрезание на три пятиугольника диаметра ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}<1}$ . Кроме того, Борсук доказал, что ${\displaystyle n}$ -мерный шар нельзя разделить на ${\displaystyle n}$ частей меньшего диаметра, тем самым утвердив нижнюю оценку для количества частей (доказательство основано на теореме Борсука — Улама ).

В 1946 году Хадвигер доказал справедливость гипотезы при всех ${\displaystyle n}$ для выпуклых тел с гладкой границей .

В 1947 году доказал случай ${\displaystyle n=3}$ для всех ограниченных тел , независимо от него в 1955 году этот же результат получил британский математик ; простое доказательство, сходное с доказательством Борсука, было найдено несколько позже Бранко Грюнбаумом и ; они доказывают, что любое тело диаметра 1 можно поместить в определённый октаэдр с отсечёнными тремя вершинами, который в свою очередь допускает разбиение на 4 части диаметра меньше 0,9888.

По меньшей мере с начала 1970-х годов гипотеза подтверждена для центрально-симметричных тел. В 1971 году Клод Роджерс доказал гипотезу для всякого множества, инвариантного относительно действия группы преобразований , оставляющих на месте правильный ${\displaystyle n}$ -мерный симплекс .

В 1993 году установил справедливость гипотезы для выпуклых тел с поясом из регулярных точек. В 1995 году им же дан положительный ответ для всех тел вращения в произвольных размерностях .

Число Борсука

Число Борсука ${\displaystyle f(n)}$ — наименьшее число возможных частей меньшего диаметра, на которые можно разбить всякое ограниченное тело в ${\displaystyle n}$ -мерном пространстве. Параллельно с подтверждением гипотезы ${\displaystyle f(n)=n+1}$ в частных случаях, улучшались нижние и верхние оценки для ${\displaystyle f(n)}$ . Сравнительно легко получены оценки ${\displaystyle f(n)\leqslant (2{\sqrt {n}}+1)^{n}}$ и ${\displaystyle f(n)\leqslant 2^{n}}$ . В 1983 году установил, что ${\displaystyle f(n)\leqslant 2^{n-1}+1}$ .

Среди асимптотических верхних оценок долгое время лучшей была оценка ( англ. ; 1965 ): ${\displaystyle f(n)\leqslant {\big (}{\sqrt {2}}+o(1){\big )}^{n}}$ ; в 1988 году Одед Шрамм установил, что:

${\displaystyle f(n)\leqslant {\Big (}{\sqrt {\tfrac {3}{2}}}+o(1){\Big )}^{n}}$ .

Отрицательные решения

Отрицательное решение проблемы в общем случае выявлено в 1993 году ( англ. ) и ( англ. ) , построившими контрпример в размерности ${\displaystyle n=1325}$ и доказавшими невыполнение гипотезы для всех ${\displaystyle n>2014}$ . Кроме того, они показали, что для достаточно больших ${\displaystyle n}$ существуют ${\displaystyle n}$ -мерные тела, которые нельзя разбить на ${\displaystyle {\big (}1{,}203+o(1){\big )}^{\sqrt {n}}}$ частей меньшего диаметра. В последующие годы размерность, выше которой гипотеза не выполняется, последовательно снижалась:

• 1993 — ${\displaystyle n\geqslant 2015}$ (Калай — Кан),
• 1994 — ${\displaystyle n\geqslant 946}$ (Нилли),
• 1997 — ${\displaystyle n\geqslant 903}$ (Вайссбах — Грей),
• 1997 — ${\displaystyle n\geqslant 561}$ (Райгородский) ,
• 2000 — ${\displaystyle n\geqslant 560}$ (Вайссбах),
• 2001 — ${\displaystyle n\geqslant 324}$ (Хинрихс),
• 2002 — ${\displaystyle n\geqslant 323}$ (Пихурко),
• 2003 — ${\displaystyle n\geqslant 298}$ (Хинрихс — Рихтер) ,
• 2013 — ${\displaystyle n\geqslant 65}$ (Бондаренко) ,
• 2013 — ${\displaystyle n\geqslant 64}$ (Йенрих) .

Для построения контпримеров во всех случаях использовались конечные множества и использованы тонкие комбинаторные результаты . Нижние оценки для минимального числа частей меньшего диаметра в большинстве контрпримеров — ${\displaystyle {\big (}1{,}203+o(1){\big )}^{\sqrt {n}}}$ , в одном из результатов Райгородского (1999) эта оценка улучшена до ${\displaystyle {\big (}1{,}2255+o(1){\big )}^{\sqrt {n}}}$ .

Вариации и обобщения

В 1953 году Дэвид Гейл выдвинул гипотезу, что любое тело единичного диаметра в трёхмерном пространстве допускает разбиение на 4 части с диаметром:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}}\approx 0{,}888}$ ,

то есть шар является «наихудшим» в этом смысле телом .

В 1971 году гипотеза Борсука подтверждена для сферического и гиперболического пространств при ${\displaystyle n=2,3}$ .

В 1991 году этот результат обобщён на произвольные размерности для центрально-симметрических выпуклых гиперповерхностей .

В 2012 году изучены аналоги проблемы Борсука в пространстве ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$ с евклидовой метрикой и с метрикой ${\displaystyle l_{p}}$ .

В 2019 году рассмотрен вопрос о разбиении произвольных ограниченных метрических пространств на заданное количество подмножеств меньшего диаметра, и выявлены критерии осуществимости и неосуществимости такого разбиения в зависимости от расстояния по метрике Громова — Хаусдорфа от заданного пространства до симплексов заданной мощности , где под симплексом понимается метрическое пространство, в котором все ненулевые расстояния одинаковы .

Примечания

Литература

• В. Г. Болтянский , И. Ц. Гохберг . . — М. : Наука, 1965. — 108 с. — (Математическая библиотечка). (содержит доказательство гипотезы в размерностях 2 и 3)
• В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг. . — М. : Наука, 1971. — 88 с.
• Б. Грюнбаум . Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. — М. : Наука, 1971.
• А. М. Райгородский . Проблема Борсука. — М. : МЦНМО , 2006. — 56 с.
• А. Б. Скопенков. // Математическое просвещение. — М. : МЦНМО, 1999. — Вып. 3 (3) .