Ве́кторное исчисле́ние — раздел математики , в котором изучаются свойства операций над векторами . В связи с разнообразием особенностей векторов, зависящих от пространства, в котором они исследуются, векторное исчисление подразделяется на:

• векторную алгебру;
• векторный анализ;
• функциональный анализ.

Расширением векторного исчисления является тензорное исчисление , изучающее тензоры и тензорные поля . Тензорное исчисление в свою очередь разделяется на тензорную алгебру (входящую в качестве основной части в полилинейную алгебру ) и тензорный анализ , изучающий дифференциальные операторы на алгебре тензорных полей.

Тензорное исчисление является составной частью дифференциальной геометрии , используемой, в том числе, в современной теоретической физике .

Разделы векторного исчисления

Векторная алгебра

В данном разделе векторного исчисления изучаются свойства линейных операций с векторами: сложение, умножение векторов на число, различные произведения векторов — скалярное, псевдоскалярное, векторное, смешанное, двойное векторное и т. д. . В приложении к аналитической геометрии исследуются геометрические свойства векторов и их совокупности. В частности, коллинеарность, компланарность векторов, свойства векторного базиса. В аналитической и теоретической механике на базе законов векторной алгебры исследуются движение и взаимодействие материальных тел

Расширением векторной алгебры является тензорная алгебра , в которой исследуются алгебраические операции над тензорами .

Векторный анализ

Раздел векторного исчисления, в котором исследуются статические, стационарные и динамические векторные и скалярные поля. Векторный анализ оперирует с понятиями поток вектора , циркуляция вектора , . Оперируя данными понятиями, исследуются взаимоотношения определяющих поля скаляров и векторов и доказываются базовые теоремы векторного анализа:

• Градиент
• Теорема о дивергенции вектора ;
• Теорема о циркуляции вектора ;
• Уравнение Лапласа ;
• Уравнение Пуассона ;
• Теорема разложения Гельмгольца ;
• Теорема Умова .

Расширением векторного анализа является тензорный анализ , изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре ${\displaystyle D\left(M\right)}$ . Рассматриваются и более общие операторы: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении .

Функциональный анализ

Функциональный анализ является частью современного математического анализа, основной целью которого является изучение функций ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ , где по крайней мере одна из переменных ${\displaystyle x,\,y}$ меняется по бесконечному пространству .

Методы, основанные на векторном представлении функций, нашли широкое применение в теории линейных интегральных уравнений , в теории обработки сигналов , в теории обыкновенных дифференциальных уравнений , алгебраической геометрии и т. д.

Примечания