Топологи́ческая гру́ппа ( непрерывная группа ) — это группа , которая одновременно является топологическим пространством , причём умножение элементов группы G × G → G и операция взятия обратного элемента G → G являются непрерывными в используемой топологии.

Из приведённого определения непосредственно следует, что операции левого и правого сдвига, а также операция сопряжения, традиционно обозначаемые буквами l , r , a и определяемые равенствами

l _g ( h ) = gh ,

r _g ( h ) = hg ,

a _g ( h ) = ghg ⁻¹ ,

представляют собой гомеоморфизмы пространства G на себя.

Изоморфизм топологической группы G на топологическую группу H — это биективное отображение группы G на H , которое одновременно является изоморфизмом структуры группы в G на структуру группы в H и гомеоморфизмом G на H .

Понятие топологической группы обобщает понятие группы Ли ; последнее требует, чтобы операции умножения элементов и взятия обратного элемента были не только непрерывными, но аналитическими или голоморфными (при этом на группе вводится не только топология, но и структура аналитического или комплексного многообразия).

Примеры топологических групп

• Множество квадратных матриц одного порядка с ненулевыми детерминантами и действительными элементами образуют топологическую группу при задании операции обычного матричного умножения.
• Векторное пространство конечной размерности образует топологическую группу при задании операции сложения векторов.

См. также

• Локальная топологическая группа
• Мера Хаара
• Группа Ли

Примечания

Литература

• Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры. — М. : Наука , 1968. — 272 с.
• Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства. — М. : Наука , 1969. — 392 с.
• Дубровин Б. А. , Новиков С. П. , Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы и приложения. — М. : Наука , 1986. — 780 с.
• Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. 3-е изд. — М. : Наука , 1973. — 527 с.
• McCarty G. . — New York: Dover Publications, 1988. — 270 p. — ISBN 0-486-65633-0 .

Ссылки

• (англ.)