Тео́рия поле́й — раздел математики , занимающийся изучением свойств полей , то есть структур, обобщающих свойства сложения, вычитания, умножения и деления чисел .

История

• В 1820—1830-х годах понятие поля неявно использовали Нильс Абель и Эварист Галуа в своих работах по разрешимости уравнений в радикалах.
• В 1871 году Рихард Дедекинд назвал «полем» подмножество действительных или комплексных чисел, замкнутое относительно четырех математических операций.
• В 1881 году Леопольд Кронекер изучал свойства алгебраических числовых полей , называя их «областями рациональности».
• В 1893 году Генрих Вебер дал первое чёткое определение абстрактного поля.
• В 1910 году Эрнст Штайниц опубликовал известную работу Algebraische Theorie der Körper ( нем . Алгебраическая теория полей), в которой развил аксиоматическую теорию полей и предложил множество важных концепций, таких как простое поле , совершенное поле и степень трансцендентности расширения поля .

Коммутативность поля

Первые определения поля не включали в себя требование коммутативности умножения, однако современный термин «поле» всегда подразумевает его коммутативность. Структура, удовлетворяющая всем свойствам поля, кроме коммутативности умножения в российской традиции называется телом . Однако по-немецки поле называют Körper (поэтому буква ${\displaystyle k}$ часто употребляется для обозначения поля), а по-французски — corps , что также переводится как «тело».

Приложения теории полей

Понятие поля используется, например, при определении векторного пространства и, следовательно, представляет большую важность для линейной алгебры . Так же и алгебраическое многообразие — основной объект изучения алгебраической геометрии — определяется над произвольным полем. Алгебраическая теория чисел занимается изучением свойств алгебраических числовых полей и их колец целых; и, конечно, использует результаты классической теории полей.

Конечные поля используются в теории чисел и теории кодирования . В частности, поля характеристики 2 полезно рассматривать в информатике .

Некоторые полезные теоремы

• Теорема о примитивном элементе
• Малая теорема Веддербёрна
• Основная теорема теории Галуа

См. также

• Теория Галуа

Примечания

• Allenby, R. B. J. T. Rings, Fields and Groups (неопр.) . — (англ.) ( , 1991.
• Blyth, T. S.; Robertson, E. F. Groups, rings and fields: Algebra through practice, Book 3 (англ.) . — Cambridge University Press , 1985.
• Blyth, T. S.; Robertson, E. F. Rings, fields and modules: Algebra through practice, Book 6 (англ.) . — Cambridge University Press , 1985.