Универсальная алгебра — раздел математики , изучающий общие свойства алгебраических систем , использующий сходства между различными алгебраическими структурами — группами, кольцами, модулями, решётками, вводящий присущие им всем понятия и устанавливающий общие для всех них утверждения. Занимает промежуточное положение между математической логикой и общей алгеброй , как реализующий аппарат математической логики в применении к общеалгебраическим структурам.

Центральное понятие — алгебраическая система , объект максимальной общности, объемлющий значительную часть вариантов алгебраических структур ; над этим объектом могут быть построены понятия гомоморфизма и факторсистемы, обобщающие соответствующие конструкции из теорий групп, колец, решёток и так далее. Развитое направление в разделе — изучение классов аксиоматизируемых алгебраических систем, прежде всего таких, как задающихся тождествами многообразия (в том числе ), и определяющихся квазитождествами квазимногообразия . В Математической предметной классификации универсальной алгебре присвоен раздел верхнего уровня 08 .

История

Первое упоминание о разделе математики с таким наименованием относится к Альфреду Уайтхеду (его «Трактат об универсальной алгебре, с приложениями» выпущен в 1898 году ) , однако появление выделенной дисциплины, изучающей алгебраические структуры как произвольные множества с произвольными наборами операций и соотношений связано с работами Гаррета Биркхофа 1935 года , в рамках работы над теорией решёток обратившего внимания на ряд параллельных конструкций, используемых в теории групп и колец : гомоморфизмы , факторгруппы и факторкольца , нормальные подгруппы и двухсторонние идеалы . Работы Биркхофа некоторое время не вызывали опубликованных откликов и развития, однако 1940-е годы отмечено появление определённого «фольклора», связанного таким универсальным подходом к алгебре, в частности, подход излагался в лекциях конца 1940-х годов, прочитанных ( англ. ) в Кембриджском университете .

Следующим шагом к созданию универсальной алгебры как раздела математики отмечаются работы Альфреда Тарского по теории моделей и Кэндзиро Сёды по алгебрам с бинарными операциями , а также работы Леона Генкина , Анатолия Мальцева , Абрахама Робинсона , ( исл. ) , обративших внимание на эффективность применения аппарата математической логики, используемого в рамках строящейся в те годы теории моделей , к исследованию алгебраических систем как структур, обобщающих модели и алгебры. При этом, работа Мальцева 1941 года отмечена как предвосхищающая логический подход к универсальной алгебре, но не получившая откликов и своевременного развития из-за войны , а лекция Тарского на Международном конгрессе математиков в 1950 году — как отправная точка для второго периода развития раздела .

С конца 1950-х годов развитие получило направление, исследующее свободные алгебры , прежде всего, благодаря работам Эдварда Марчевского и последовавшей серии из более чем пятидесяти статей польских математиков в этом направлении . В середине 1950-х годов введены и изучены мультиоператорные группы как структуры, в которых может быть обобщено понятие коммутанта и всякая конгруэнция представляется разложением на смежные классы по идеалам (по аналогии с соответствующими свойствами нормальной подгруппы и двухстороннего идеала кольца), позднее также изучены специальные классы мультиоператорных групп (мультиоператорные кольца и алгебры).

С начала 1960-х годов развивается теория квазимногообразий и вопросы их связи с аксиоматизируемыми классами алгебраических систем (Мальцев, ), наиболее бурно развивающимся направлением начала — середины 1970-х годов стали исследования (Бьярни Йоунссон, Гретцер).

К 1968 году библиография по универсальной алгебре насчитывала более 1 тыс. статей, к 1980 году — более 5 тыс.; в период с 1976 по 1988 год опубликовано 2 тыс. работ .

Во второй половине 1970-х годов возникли приложения универсальной алгебры в информатике — теории абстрактных типов данных , теории систем управления базами данных , приложения в основном строятся вокруг понятия многосортных алгебр . Среди основных направлений, наиболее активно развивавшиеся в 1980-е — 1990-е годы — теория квазимногообразий, теория коммутаторов для многообразий конгруэнций, теория естественной двойственности ( англ. natural duality theory ). В 2000-е годы получило интенсивное развитие отдельное направление — универсальная алгебраическая геометрия , обобщающая классическую алгебраическую геометрию , работающую с алгебраическими полями , на более широкие классы алгебраических систем .

Алгебраические системы, алгебры и модели

Базовый объект изучения раздела — алгебраическая система — произвольное непустое множество с заданным (возможно, бесконечным) набором конечноарных операций над ним и конечноарных отношений: ${\displaystyle {\mathfrak {A}}=\langle A,\;F,\;R\rangle }$ , ${\displaystyle F=\langle f_{1}\colon A^{n_{1}}\to A,\;\ldots f_{i}\colon A^{n_{i}}\to A,\;\ldots \rangle }$ , ${\displaystyle R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}},\;\ldots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\;\ldots \rangle }$ . Множество ${\displaystyle A}$ в этом случае называется носителем (или основным множеством ) системы, набор функциональных и предикатных символов с их арностями ${\displaystyle \langle F,\;R,\;\langle n_{1},\;\ldots n_{i},\;\ldots \rangle ,\;\langle m_{1}\ldots m_{i},\;\ldots \rangle \rangle }$ — её сигнатурой . Система с пустым множеством отношений называется универсальной алгеброй (в контексте предмета — чаще просто алгеброй ), а с пустым множеством операций — моделью или системой отношений , реляционной системой .

В эту абстракцию вписываются все базовые общеалгебраические структуры, например частично упорядоченное множество — реляционная система, наделённая бинарным отношением частичного порядка, а группа — алгебра, снабжённая нульарной операцией , выделяющей нейтральный элемент , унарной операцией получения обратного элемента и бинарной ассоциативной операцией.

Благодаря тому, что любую ${\displaystyle n}$ -арную операцию ${\displaystyle f\colon A^{n}\to A}$ можно представить как ${\displaystyle (n+1)}$ -мерное отношение ${\displaystyle \mathrm {r} f=\{\langle a_{1},\;\ldots ,\;a_{n},\;a_{n+1}\rangle \mid a_{n+1}=f(a_{1},\;\ldots ,\;a_{n})\}}$ , любые алгебраические системы могут быть исследованы как модели, теоретико-модельным инструментарием .

Основные конструкции

Для алгебраических систем вводятся конструкции, характерные для всех базовых общеалгебраических структур: подсистема ( подалгебра , подмодель ), как подмножество носителя системы, замкнутое относительно всех операций и отношений, гомоморфизма систем, как отображения между системами одного типа, сохраняющий основные операции и отношения, изоморфизма , как обратимого гомоморфизма, автоморфизма как изоморфизма на себя. Введение понятия конгруэнции как стабильного отношения эквивалентности на системе позволяет построить такую конструкцию, как факторсистему ( факторалгебру , фактормодель ) — систему над классами эквивалентности. При этом доказана общая для всех алгебраических систем теорема о гомоморфизме , утверждающая, что для любого гомоморфизма ${\displaystyle \varphi \colon {\mathfrak {A}}(A,\;\Sigma )\to {\mathfrak {A}}'(A',\;\Sigma )}$ естественное отображение факторсистемы по ядерной конгурэнции ${\displaystyle {\mathfrak {A}}/\{(x,\;y)\in A\times A'\mid \varphi (x)=\varphi (y)\}}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {A}}'}$ является гомоморфизмом , а в случае алгебр — изоморфизмом .

Все подсистемы алгебраической системы ${\displaystyle \mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}}$ образуют , кроме того, любая (то есть решётка, каждый элемент которой представим как точная верхняя грань её компактных элементов) изоморфна решётке подалгебр некоторой универсальной алгебры . Исследованы группы автоморфизмов алгебраических систем ${\displaystyle \mathbf {Aut} \,{\mathfrak {A}}}$ , решётки конгруэнций ${\displaystyle \mathbf {Con} \,{\mathfrak {A}}}$ . В частности, показано, что для любой группы ${\displaystyle G}$ и решёток ${\displaystyle L_{0}}$ и ${\displaystyle L_{1}}$ существует такая универсальная алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ , что ${\displaystyle G\cong \mathbf {Aut} \,{\mathfrak {A}}}$ , ${\displaystyle L_{0}\cong \mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}}$ , ${\displaystyle L_{1}\cong \mathbf {Con} \,{\mathfrak {A}}}$ .

Над семейством алгебраических систем одного типа определяется прямое произведение ${\displaystyle \prod _{i\in I}{{\mathfrak {A}}_{i}(A_{i},\;\langle f_{1}\colon A^{n_{1}}\to A,\;\ldots f_{i}\colon A^{n_{i}}\to A,\;\ldots \rangle ,\;\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}},\;\ldots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\;\ldots \rangle )}}$ как система, операции и отношения которой покоординатно определены на декартовом произведении носителей: то есть для ${\displaystyle f_{k}\colon (\prod _{i\in I}A_{i})^{n_{k}}\to \prod _{i\in I}A_{i}}$ — ${\displaystyle f_{k}(\langle \ldots a_{i,\;1}\ldots \rangle ,\;\ldots ,\;\langle \ldots a_{i,\;n_{k}}\ldots \rangle )=\langle \ldots ,\;f(a_{i,\;1},\;\ldots a_{i,\;n_{k}}),\;\ldots \rangle }$ , а для ${\displaystyle r_{k}\subseteq (\prod _{i\in I}A_{i})^{n_{k}}}$ — ${\displaystyle \{\langle \ldots ,\;r(a_{i,\;1},\;\ldots ,\;a_{i,\;k}),\;\ldots \rangle \mid a_{i,\;j}\in A_{i},\;i\in I,\;1\leqslant j\leqslant k\}}$ . Проекциями прямого произведения являются естественные сюръективные гомоморфизмы ${\displaystyle \pi _{k}\colon \prod _{i\in I}{{\mathfrak {A}}_{i}}\to {\mathfrak {A}}_{k}}$ , восстанавливающие операции и отношения в компонентах произведения. Декартовой степенью алгебраической системы называется прямое произведение с самой собой: ${\displaystyle {\mathfrak {A}}^{n}=\prod _{i=1}^{n}{{\mathfrak {A}}_{i}}}$ ; решётку конгруэнций алгебры ${\displaystyle \mathbf {Con} \,{\mathfrak {A}}}$ в этом смысле можно рассмотреть как входящую в решётку подалгебр её декартова квадрата ${\displaystyle \mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}^{2}}$ , притом установлено, что она является в ней .

Многообразия

Многообразие алгебраических систем (или эквациональный класс ) — класс алгебраических систем фиксированной сигнатуры, аксиоматизируемый набором тождеств, выраженных в термах сигнатуры, это понятие обобщает такие специальные аксиоматически заданные классы алгебр, как класс всех полугрупп, класс всех групп, класс всех колец. Основанием для изучения такой обобщённой конструкции как многообразия является , утверждающая, что для аксиоматизируемости тождествами непустого класса алгебраических систем ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ необходимо и достаточно, чтобы он содержал:

• декартово произведение произвольной последовательности ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ (был мультипликативно замкнутым);
• любую подсистему произвольной ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ -системы (являлся наследственным);
• гомоморфный образ любой ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ -системы (был гомоморфно замкнутым) .

Третье условие эквивалентно замкнутости относительно факторсистем.

В исследованиях по универсальной алгебре подробно изучены структурные свойства многообразий, вопросы погружаемости систем одного многообразия в системы другого. Подмногообразия для заданного эквационального класса образуют решётку по включению, при этом свойства таких решёток многообразий различны, в частности решётка всех многообразий решёток и имеет мощность континуума , а решётка всех многообразий групп модулярна , но дистрибутивной не является.

Дополнительно к многообразиям изучены такие более общие классы систем, как (реплично полные классы) — классы, замкнутые относительно подалгебр и декартовых произведений, содержащие одноэлементную систему и квазимногообразия — классы, аксиоматизируемые вместо набора тождеств набором квазитождеств (определёнными дизъюнктами Хорна ), а также конечно-замкнутные варианты многообразий и квазимногообразий — псевдомногообразия и псевдоквазимногообразия .

Свободные алгебры

Специальные алгебры

Этот раздел статьи ещё не написан . Здесь может располагаться раздел, посвящённый мультиоператорным группам и алгебрам . Помогите Википедии, написав его. ( 22 сентября 2014 )

Категории алгебраических систем

Этот раздел статьи ещё не написан . Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. ( 31 января 2017 )

Приложения

Этот раздел статьи ещё не написан . Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. ( 31 января 2017 )

Примечания

Литература

• Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. . — М. : Наука , 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4 .
• Кон П. Универсальная алгебра. — М. : Мир , 1969. — 351 с.
• Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М. : Наука , 1970. — 392 с. — 17 500 экз.
• Grätzer, George. Universal Algebra. — 2nd. — Springer , 2008. — 585 с. — ISBN 978-0-387-77486-2 .