Диофантова геометрия — подход к теории диофантовых уравнений , формулирующий задачи в терминах алгебраической геометрии над алгебраически незамкнутым базисным полем K , таким как поле рациональных чисел или конечное поле , или, обобщённо, коммутативное кольцо , такое как кольцо целых чисел. Единичное уравнение определяет гиперповерхность , и, таким же образом, диофантово уравнение переходит в алгебраическое многообразие V над K . Типичный вопрос о природе множества V ( K ) точек на V с координатами в K — вопрос «размере» множества этих решений: существуют ли такие точки вообще, конечно ли их число или бесконечно. Для геометрического подхода соглашение об однородности уравнений и однородности координат фундаментально. Решения в рациональных числах является основным соглашением ^{[ уточнить ]} .

Одним из характерных результатов диофантовой геометрии является теорема Фальтингса , утверждающая о конечности множества рациональных точек алгебраической кривой C g > 1 над рациональными числами . Первым результатом диофантовой геометрии, вероятно, следует считать теорему Гильберта — Гурвица, разбирающую случай g = 0.

История

В 1962 году Серж Ленг опубликовал книгу « Диофантова геометрия », в которой был в традиционном ключе изложен материал в диофантовых уравнениях по степени и числу переменных. Книга Луиса Морделла « Диофантовы уравнения » (1969) начинается с замечания об однородном уравнении f = 0 над рациональным полем, приписываемого Гауссу , что ненулевые целые решения существуют тогда и только тогда, когда существуют ненулевые рациональные решения, а также замечания о возражениях о параметрических решениях. Результаты Гильберта и Гурвица, полученные в 1890 году, ограничивающие диофантову геометрию кривых 0-го рода степенями 1 и 2 ( конические сечения ) описан в главе 17, там же сформулировано обобщение для кривых g > 1 (позднее известное как гипотеза Морделла, и ставшее теоремой Фальтингса после доказательства утверждения). рассматривается в главе 28. о конечном числе рациональных чисел на эллиптической кривой изложена в главе 16, и целых чисел на — в главе 26. При этом Морделл негативно отзывался о геометрическом подходе, используемом Ленгом.

Однако концепция Ленга с опорой на геометрическую интуицию позднее обрела популярность, и в 2006 году он был назван «провидцем» .

Примечания

Литература

• (англ.) ( ; (англ.) ( . Logarithmic Forms and Diophantine Geometry (англ.) . — Cambridge University Press , 2007. — Vol. 9. — (New Mathematical Monographs). — ISBN 978-0-521-88268-2 .
• Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter. Heights in Diophantine Geometry (неопр.) . — Cambridge University Press , 2006. — Т. 4. — (New Mathematical Monographs). — ISBN 978-0-521-71229-3 .
• Hindry, Marc; (англ.) ( . Diophantine Geometry: An Introduction (неопр.) . — 2000. — Т. 201. — ( ). — ISBN 0-387-98981-1 .
• Lang, Serge . Survey of Diophantine Geometry (неопр.) . — Springer-Verlag , 1997. — ISBN 3-540-61223-8 .

Ссылки

Для улучшения этой статьи желательно : Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии . Оформить статью по правилам . Проверить достоверность указанной в статье информации. На странице обсуждения должны быть пояснения. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.