Геометри́ческий объе́кт ( англ. geometric object ), или ${\displaystyle G}$ -объект — любая точка пространства представления данной фундаментальной группы ${\displaystyle G}$ .

В качестве примера приведём два разных пространства представления проективной группы ${\displaystyle P(3,\mathbb {R} )}$ :

• трёхмерное проективное пространство ${\displaystyle P_{3}}$ ;
• четырёхмерное многообразие ${\displaystyle M_{4}}$ прямых из ${\displaystyle P_{3}}$ .

Теория геометрических объектов — раздел дифференциальной геометрии , основанный на теории представления групп . Применение метода внешних дифференциальных форм позволяет ввести дифференциальные критерии теории геометрического объекта, превращающие её в эффективный аппарат дифференциально-геометрического исследования пространств с фундаментальными группами, а также обобщённых пространств ( расслоенных пространств , пространств со связностью , дифференцируемых многообразий , снабженных различными дифференциально-геометрическими структурами ) .

Историческая справка

Для случая трёхмерного евклидова пространства понятие геометрического объекта, по существу, встречается уже у Феликса Клейна . При этом Клейн все геометрические объекты считает заданными как функции объединения нескольких геометрических объектов, компоненты которых — координаты фиксированных точек .

Термин «геометрический объект», в противовес термину «инвариант», появился впервые в 1930 году у Схоутена и Ван Кампена .

Первая попытка систематического построения теории объектов и геометрических объектов была сделана Александром Вундгейлером (Alexander Wundheiler, 1902—1957) в докладе, посвящённом классификации геометрий с помощью инвариантов группы движений пространства, предложенной в 1872 году Феликсом Клейном (так называемая Эрлангенская программа ) , на первой Международной конференции по тензорной дифференциальной геометрии и её приложениям в Москве в 1934 году .

Пространство геометрического объекта

Геометрический объект присоединён к своей фундаментальной группе ${\displaystyle G}$ . Пространство представления фундаментальной группы, точкой которой является геометрический объект, называется пространством геометрического объекта в широком смысле слова , или обобщённым однородным пространством . Группа преобразований пространства геометрического объекта, реализующая его фундаментальную группу, называется фундаментальной группой геометрического объекта .

Для данного пространства представления фундаментальной группы два его геометрических объекта эквивалентны , если один из них может быть преобразован в другой с помощью преобразования этой фундаментальной группы. Каждая система интранзитивности пространства представления, то есть множество всех эквивалентных между собою геометрических объектов , называется пространством геометрического объекта в собственном смысле .

Представление называется транзитивным , если существует преобразование фундаментальной группы, преобразующее одну произвольно заданную точку в другую произвольно заданную точку . Пространство представления фундаментальной группы называется однородным , или пространством Клейна , если в нем реализовано истинное транзитивное представление этой группы. Во всяком пространстве истинного транзитивного представления конечной группы существует репер , состоящий из конечного числа точек .

Пространство реперов

Пусть в пространстве данного геометрического объекта реализовано истинное транзитивное представление. Тогда, подвергая пространство представления и с ним данный репер всевозможным преобразованиям фундаментальной группы ${\displaystyle G}$ , получают полное пространство реперов , в котором осуществляется просто транзитивное представление группы ${\displaystyle G}$ . Это пространство отождествляется с параметрическим пространством фундаментальной группы ${\displaystyle G}$ . Если принять его произвольную точку (репер) за исходную и сопоставить ей единичный элемент группы ${\displaystyle G}$ , то все точки этого пространства приводятся во взаимно однозначное соответствие с элементами группы ${\displaystyle G}$ . Групповые параметры могут рассматриваться как параметры подвижного репера .

Между реперами пространства реперов и элементами фундаментальной группы можно установить также и взаимно однозначное соответствие , когда каждому элементу ${\displaystyle S_{a}}$ группы поставлен в соответствие некоторый репер ${\displaystyle R_{a}}$ , полученный из произвольно зафиксированного начального (абсолютного) репера ${\displaystyle R}$ правым (левым) сдвигом при помощи элемента ${\displaystyle S_{a}}$ : ${\displaystyle R_{a}=RS_{a}}$ . Текущему элементу ${\displaystyle S_{u}}$ будет соответствовать текущий «подвижной» репер ${\displaystyle R_{u}}$ . Каждая точка ${\displaystyle X}$ пространства представления фундаментальной группы определяется относительно репера ${\displaystyle R}$ своими координатами ${\displaystyle {\tilde {X}}^{K},K=1,2,\ldots ,N,}$ называется абсолютными координатами , или абсолютными компонентами , геометрического объекта ${\displaystyle X}$ .

Основные функции, определяющие геометрический объект

Относительными координатами , или относительными компонентами , ${\displaystyle X_{u}^{K}}$ геометрического объекта по отношению к реперу ${\displaystyle R_{u}=S_{u}^{-1}R}$ называются абсолютные компоненты геометрического объекта, в который рассматриваемый объект ${\displaystyle X}$ превращается при помощи преобразования, переводящего подвижный репер ${\displaystyle R_{u}}$ в абсолютный репер ${\displaystyle R}$ :

${\displaystyle X^{K}=S_{u}{\tilde {X}}^{K}}$ и ${\displaystyle X^{K}=f^{K}(u^{s},{\tilde {X}}^{J}),}$

${\displaystyle J,K=1,2,\ldots ,N,s=1,2,\ldots ,r,}$

где ${\displaystyle u^{s}}$ — групповые параметры ${\displaystyle r}$ -членной группы. Относительные компоненты ${\displaystyle X^{K}}$ фиксированного геометрического объекта удовлетворяют вполне интегрируемой системе дифференциальных уравнений

${\displaystyle dX^{K}-\xi _{s}^{K}\omega ^{s}=0}$ ,

где ${\displaystyle \omega ^{s}=\omega ^{s}(u,du)}$ — левоинвариантные формы фундаментальной группы и ${\displaystyle \xi _{s}^{K}=\xi _{s}^{K}(X^{J})}$ . Эта система дифференциальных уравнений называется системой дифференциальных уравнений инвариантности геометрического объекта , а также системой дифференциальных уравнений представления фундаментальной группы с инвариантными формами ${\displaystyle \omega ^{s}}$ . Функции ${\displaystyle \xi _{s}^{K}}$ называются основными определяющими геометрический объект функциями (или определяющими представление функциями ) .

Основная теорема

Сформулируем основную теорему теории представлений группы Ли , которая называется первой теоремой Ли — Картана .

Теорема. Система вида

${\displaystyle dX^{K}-\xi _{s}^{K}\omega ^{s}=0,K=1,2,\ldots ,N,s=1,2,\ldots ,r}$

тогда и только тогда является системой дифференциальных уравнений инвариантности геометрического объекта с относительными компонентами ${\displaystyle X^{K}}$ и фундаментальной группой преобразований, когда :

• коэффициенты ${\displaystyle \xi _{s}^{K}}$ являются функциями только от переменных ${\displaystyle X^{K}}$ ;
• данная система вполне интегрируема.

Необходимыми и достаточными условиями полной интегрируемости системы дифференциальных уравнений инвариантности геометрического объекта является выполнение структурных уравнений Ли для определяющих объект функций ${\displaystyle \xi _{s}^{J}(X^{K})}$ :

${\displaystyle {\frac {\partial \xi _{p}^{J}}{\partial X^{K}}}\xi _{q}^{K}-{\frac {\partial \xi _{q}^{J}}{\partial X^{K}}}\xi _{p}^{K}=C_{pq}^{s}\xi _{s}^{J},p,q,s=1,\ldots ,r.}$

Дифференциальные формы

${\displaystyle \Delta X^{J}\equiv dX^{J}-\xi _{s}^{J}(X)\omega ^{s}}$

называются структурными формами представления (или структурными формами геометрического объекта с относительными компонентами ${\displaystyle X^{J}}$ ) .

Арифметические инварианты геометрического объекта

Размерность ${\displaystyle N}$ пространства геометрического объекта называется рангом объекта. Необходимое условие истинного транзитивного представления некоторой ${\displaystyle r}$ -членной группы в пространстве объекта — это соотношение ${\displaystyle N\leqslant r}$ .

Число ${\displaystyle \rho =N-R}$ , где ${\displaystyle N}$ — размерность пространства представления геометрического объекта, ${\displaystyle R}$ — ранг матрицы ${\displaystyle (\xi _{s}^{K})}$ , называется жанром геометрического объекта. Жанр совпадает с числом независимых абсолютных инвариантов геометрического объекта .

Система форм

${\displaystyle X^{J},\Omega _{K_{1}}^{J},\Omega _{K_{1}K_{2}}^{J},\ldots ,\Omega _{K_{1}K_{2}\ldots K_{a}}^{J},\ldots ,}$

где

${\displaystyle \Omega _{K_{1}K_{2}\ldots K_{a}}^{J}=-{\frac {\partial ^{a}\xi _{s}^{J}}{\partial X^{K_{1}}\partial X^{K_{2}}\ldots \partial X^{K_{a}}}}\omega ^{s},}$ ${\displaystyle a=1,2,\ldots ,}$

вполне интегрируема. Для фиксированной точки ${\displaystyle X_{0}}$ пространства представления фундаментальной группы Ли

${\displaystyle \Delta X_{0}^{J}\equiv -\xi _{s}^{J}(X_{0})\omega ^{s}=0,}$

а возникающие формы

${\displaystyle {\bar {\Omega }}_{K_{1}K_{2}\ldots K_{a}}^{J}=\Omega _{K_{1}K_{2}\ldots K_{a}}^{J}\mid X^{J}=X_{0}^{J}=\mathrm {const} }$

удовлетворяют структурным уравнениям линейной группы .

Каждое число ${\displaystyle r_{m}}$ линейно независимых форм среди форм

${\displaystyle {\bar {\Omega }}_{K_{1}}^{J},{\bar {\Omega }}_{K_{2}}^{J},\ldots ,{\bar {\Omega }}_{K_{1}K_{2}\ldots K_{m}}^{J}}$

является арифметическим инвариантом пространства представления фундаментальной группы. Каждое из чисел ${\displaystyle \rho _{m}=r-r_{m}}$ называется характером изотропии ${\displaystyle m}$ -го порядка пространства представления фундаментальной группы, или характеристикой ${\displaystyle m}$ -го порядка геометрического объекта .

Числа ${\displaystyle \rho _{a}}$ образуют невозрастающую последовательность , причём всегда существует такое наименьшее число ${\displaystyle q}$ , что

${\displaystyle \rho _{1}\geqslant \rho _{2}\geqslant \ldots \geqslant \rho _{q-1}\geqslant \rho _{q}=\rho _{q+1}=\ldots .}$

Число ${\displaystyle q}$ — также арифметический инвариант пространства представления фундаментальной группы, это порядок нелинейности , или тип , геометрического объекта .

Охваты одних геометрических объектов другими

Если система дифференциальных уравнений инвариантности геометрического объекта

${\displaystyle dX^{J}-\xi _{s}^{J}(X^{K})\omega ^{s}=0}$

содержит подсистему

${\displaystyle dX^{\alpha }-\xi _{s}^{\alpha }(X^{\beta })\omega ^{s}=0,\alpha ,\beta =1,2,\ldots ,n_{1}<N,}$

то система компонент ${\displaystyle X^{\alpha }}$ определяет новый геометрический объект — подобъект геометрического объекта с относительными компонентами ${\displaystyle X^{J}}$ .

Если два геометрических объектов ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ присоединены к одной и той же фундаментальной группе, причём все относительные компоненты ${\displaystyle Y^{\alpha }}$ одного объекта могут быть представлены как определенные аналитические функции от относительных компонент ${\displaystyle X^{J}}$ второго объекта:

${\displaystyle Y^{\alpha }=Y^{\alpha }(X^{K}),}$

то говорят, что объект ${\displaystyle Y}$ охватывается объектом ${\displaystyle X}$ , или содержится в объекте ${\displaystyle X}$ . Геометрический объект ${\displaystyle X}$ называется охватывающим геометрическим объектом , а объект ${\displaystyle Y}$ — охваченным геометрическим объектом . Два геометрических объекта называются подобными , если каждый из них охватывает другой. Ранги, жанры, характеристики и типы подобных геометрических объектов совпадают .

Частный случай подобных геометрических объектов дают изомеры — геометрические объекты, компоненты которых отличаются только порядком следования. Если система дифференциальных уравнений инвариантности геометрических объектов алгебраически разрешима относительно всех инвариантных форм ${\displaystyle \omega ^{s}}$ фундаментальной группы, то этим объектом можно охватить любой другой объект, присоединенный к этой фундаментальной группе .

Усечённый геометрический объект

Вышеприведённая система функций охвата

${\displaystyle Y^{\alpha }=Y^{\alpha }(X^{K})}$

тогда и только тогда будет системой уравнений относительных компонент геометрического объекта, когда в системе дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют функции ${\displaystyle Y^{\alpha }}$ , коэффициенты разложения по формам ${\displaystyle \omega ^{s}}$ будут функциями только от этих компонент ${\displaystyle Y^{\alpha }}$ . Формально это записывается следующим образом :

${\displaystyle dY^{\alpha }-\eta _{s}^{\alpha }(Y^{\beta })\omega ^{s}=0,s=1,2,\ldots ,r,}$

${\displaystyle \alpha ,\beta =1,2,\ldots ,n_{1}<N.}$

Если в дифференциальных уравнениях

${\displaystyle dX^{a}-\xi _{s}^{a}(X^{J})\omega ^{s}=0,a=1,2,\ldots ,n_{2}<N,}$

которым удовлетворяют компоненты ${\displaystyle X^{a}}$ геометрического объекта с относительными компонентами ${\displaystyle X^{J}}$ , функции ${\displaystyle \xi _{s}^{a}(X^{J})}$ однородны относительно компонент ${\displaystyle X^{a}}$ , то система функций ${\displaystyle X^{J}}$ называется усечённым геометрическим объектом .

Производный геометрический объект

Пусть имеется геометрический объект ${\displaystyle X}$ и охваченный им объект ${\displaystyle Y}$ , на языке формул

${\displaystyle Y^{\alpha }=Y^{\alpha }(X^{J}).}$

Тогда

${\displaystyle Y_{K}^{\alpha }\equiv {\frac {\partial Y^{\alpha }}{\partial X^{K}}}=F_{K}^{\alpha }(X^{J}).}$

Совокупность относительных компонент охватывающего геометрического объекта ${\displaystyle X^{J}}$ , охваченного геометрическим объектом ${\displaystyle Y_{K}^{\alpha }}$ и частных производных вторых по первым является системой относительных компонент нового охваченного геометрического объекта :

${\displaystyle \left\{X^{J},Y^{\alpha },{\frac {\partial Y^{\alpha }}{\partial X^{K}}}\right\}.}$

При этом, если для ${\displaystyle X^{J}}$ выполняются уравнения

${\displaystyle dX^{J}-\xi _{s}^{J}(X^{K})\omega ^{s}=0,}$

а для ${\displaystyle Y^{\alpha }}$ выполняются уравнения

${\displaystyle dY^{\alpha }-\eta _{s}^{\alpha }(Y^{\beta })\omega ^{s}=0,}$

то

${\displaystyle dY_{K}^{\alpha }-\left({\frac {\partial \eta _{s}^{\alpha }}{\partial Y^{\beta }}}Y_{K}^{\beta }-{\frac {\partial \xi _{s}^{J}}{\partial X^{K}}}Y_{J}^{\alpha }\right)\omega ^{s}=0.}$

Этот новый охваченный геометрический объект называется производным геометрическим объектом .

Тензор

Геометрический объект называется линейным, или квазитензорным, объектом , если группа преобразований его компонент линейна :

${\displaystyle {\tilde {X}}^{J}=B_{K}^{J}(u)X^{K}+B^{J}(u).}$

Если при этом ${\displaystyle B^{J}=0}$ , то геометрический объект называется линейным однородным объектом, или тензором .

Геометрический объект — линейный (квазитензорный) объект тогда и только тогда, когда основные определяющие его функции имеют следующий вид:

${\displaystyle \xi _{s}^{J}=K_{sK}^{J}X^{K}+K_{s}^{J},}$

где ${\displaystyle K_{sK}^{J}}$ , ${\displaystyle K_{s}^{J}}$ — постоянные. Геометрический объект — линейный однородный объект (тензор) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle K_{s}^{J}=0}$ , и его функции имеют следующий вид :

${\displaystyle \xi _{s}^{J}=K_{sK}^{J}X^{K}.}$

Однокомпонентный тензор ${\displaystyle X}$ называется инвариантом . Дифференциальные уравнения инварианта имеют вид

${\displaystyle dX-XK_{s}\omega ^{s}=0,}$

где ${\displaystyle K_{s}}$ — постоянные. Если не все ${\displaystyle K_{s}}$ равны нулю, то инвариант называется относительным , а в случае ${\displaystyle K_{s}=0}$ инвариант называется абсолютным .

Расслоённая структура

Если ${\displaystyle V_{n}}$ — ${\displaystyle n}$ -мерное дифференцируемое многообразие и ${\displaystyle u^{i}}$ — локальные координаты точки ${\displaystyle u\in U\subset V_{n}}$ , где ${\displaystyle U}$ — некоторая область этого многообразия, то всегда можно ввести вполне интегрируемую систему ${\displaystyle n}$ линейных линейно независимых дифференциальных форм ${\displaystyle \theta ^{i}}$ , первые интегралы которой — локальные координаты ${\displaystyle u^{i}}$ . Это означает, что выполняются следующие два равенства :

${\displaystyle \theta ^{i}=u_{k}^{i}du_{k},}$

${\displaystyle D\theta ^{i}=\theta ^{k}\wedge \theta _{k}^{i}.}$

Рассмотрим систему ${\displaystyle r}$ линейных линейно независимых форм ${\displaystyle \omega ^{\alpha }}$ , удовлетворяющих следующим структурным уравнениям:

${\displaystyle D\omega ^{\alpha }={\frac {1}{2}}C_{\beta \gamma }^{\alpha }\omega ^{\beta }\wedge \omega ^{\gamma }+\theta ^{k}\wedge \omega _{k}^{\alpha },}$

${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma =n+1,n+2,\ldots ,n+r.}$

Говорят, что формы ${\displaystyle \omega ^{\alpha }}$ имеют расслоённую структуру по отношению к формам ${\displaystyle \theta ^{i}}$ , и при ${\displaystyle u^{i}=u_{0}^{i}}$ , то есть при ${\displaystyle \theta ^{k}=0}$ , становятся инвариантными формами ${\displaystyle r}$ -членной группы Ли ${\displaystyle G}$ со структурными константами ${\displaystyle C_{\beta \gamma }^{\alpha }(u_{0}^{i})}$ :

${\displaystyle D\omega ^{\alpha }={\frac {1}{2}}C_{\beta \gamma }^{\alpha }\omega ^{\beta }\wedge \omega ^{\gamma }}$ .

Поле геометрического объекта

Говорят, что на ${\displaystyle n}$ -мерном дифференцируемом многообразии ${\displaystyle V_{n}}$ задано (естественно, локально) поле геометрического объекта ${\displaystyle \{X\}}$ , присоединенного к группе ${\displaystyle G}$ , или поле ${\displaystyle G}$ -объекта , если в каждой точке ${\displaystyle u\in U}$ этого многообразия определён геометрический объект ${\displaystyle \{X\}}$ , присоединенный к некоторой группе Ли ${\displaystyle G}$ , то есть в каждой точке определён ${\displaystyle G}$ -объект . При этом

${\displaystyle {\tilde {\Phi }}^{J}={\tilde {\Phi }}^{J}(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}),}$

где ${\displaystyle {\tilde {\Phi }}^{J}(J=1,2,\ldots ,N)}$ — абсолютные координаты объекта ${\displaystyle \{X\}}$ . Следовательно ,

${\displaystyle d{\tilde {\Phi }}={\tilde {\Phi }}_{k}^{J}\theta ^{k}.}$

Другими словами, система функций ${\displaystyle X^{J}}$ , удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений

${\displaystyle \Delta X^{J}\equiv dX^{J}-\Xi _{\alpha }^{J}(X^{K})\omega ^{\alpha }-X_{k}^{J}\theta ^{k}=0,}$

называется полем геометрического объекта , присоединенного к группе ${\displaystyle G}$ , если система

${\displaystyle \Delta X^{J}=0}$ , ${\displaystyle \theta ^{k}=0}$

вполне интегрируема. При этом геометрический объект ${\displaystyle \{X\}}$ называется образующим объектом поля , а функции ${\displaystyle X^{J}}$ при ${\displaystyle \theta ^{k}=0}$ становятся относительными компонентами геометрического объекта ${\displaystyle \{X\}}$ . Сами эти уравнения называются дифференциальными уравнениями поля геометрического объекта ${\displaystyle \{X\}}$ . Поле геометрического объекта определяет сечение в присоединенном расслоенном пространстве , база которого — дифференцируемое многообразие ${\displaystyle V_{n}}$ , а слои — пространства данного геометрического объекта .

Функции ${\displaystyle \Xi _{s}^{J}(X^{K})}$ называются основными определяющими функциями поля , а коэффициенты ${\displaystyle X_{k}^{J}}$ — дополнительными определяющими функциями поля геометрического объекта, или пфаффовыми производными поля . Совокупность функций ${\displaystyle X^{J}}$ и ${\displaystyle X_{k}^{J}}$ , кроме того, образует систему относительных компонент геометрического объекта, который называется продолжением геометрического объекта ${\displaystyle \{X\}}$ , или продолженным геометрическим объектом первого порядка геометрического объекта ${\displaystyle \{X\}}$ .

Продолжения системы дифференциальных уравнений поля геометрического объекта

Система дифференциальных уравнений

${\displaystyle \Delta X^{J}\equiv dX^{J}-\Xi _{\alpha }^{J}(X^{K})\omega ^{\alpha }-X_{k}^{J}\theta ^{k}=0,}$

поля геометрического объекта правильно продолжаема по формам ${\displaystyle \theta ^{k}}$ . Это означает, что в результате внешнего дифференцирования этой системы получается квадратичная система вида

${\displaystyle \Delta X_{i}^{J}\wedge \theta ^{i}=0,}$

где

${\displaystyle \Delta X_{i}^{J}\equiv dX_{i}^{J}-\Xi _{i\alpha }^{J}(X^{K},X_{k}^{K})\omega ^{\alpha },}$

Система уравнений

${\displaystyle \Delta X_{i}^{J}=X_{ik}^{J}\theta ^{k},}$

${\displaystyle \Delta X^{J}\equiv dX^{J}-\Xi _{\alpha }^{J}(X^{K})\omega ^{\alpha }-X_{k}^{J}\theta ^{k}=0}$

образует систему дифференциальных уравнений поля продолженного геометрического объекта .

В свою очередь, эта система

${\displaystyle \Delta X^{J}\equiv dX^{J}-\Xi _{\alpha }^{J}(X^{K})\omega ^{\alpha }-X_{k}^{J}\theta ^{k}=0,}$

${\displaystyle \Delta X_{i}^{J}=X_{ik}^{J}\theta ^{k}}$

правильно продолжаема. И так далее. В итоге после ${\displaystyle q}$ -го продолжения получается система дифференциальных уравнений поля продолженного геометрического объекта порядка ${\displaystyle q}$ со следующими относительными компонентами :

${\displaystyle \{X^{J},X_{k_{1}}^{J},X_{k_{1}k_{2}}^{J},\ldots ,X_{k_{1}k_{2}\ldots k_{q}}^{J}\}}$ .

Дифференциально-геометрический объект

Дифференциально-геометрическим объектом называется геометрический объект, когда он присоединён к дифференциальной группе ${\displaystyle GL^{p}(n,\mathbb {R} )}$ порядка ${\displaystyle p}$ , а поле такого объекта — полем дифференциально-геометрического объекта .

Если образующий объект поля охватывает другой объект (охватывается другим объектом), то поле первого называется охватывающим ( охваченным ), а поле второго — охваченным ( охватывающим ) .

Если на дифференцируемом многообразии задано поле геометрического объекта, то такое дифференцируемое многообразие называется оснащённым , а заданное поле и образующий его объект — оснащающим полем и, соответственно, оснащающим объектом .

Поле оснащающего геометрического объекта индуцирует на дифференцируемом многообразии дифференциально-геометрическую структуру ( ${\displaystyle G}$ -структуру в широком смысле слова ). Поэтому оснащающий объект называется также и структурным объектом . Тип структуры определяется типом структурного объекта .

Примечания

Источники

• Базылев В. Т. Геометрия дифференцируемых многообразий: Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 1989. 221 с.
• Веблен О. , Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии / Перевод с английского М. Г. Фрейдиной с дополнением проф. В. В. Вагнера . М.: Издательство иностранной литературы, 1949. 229 с., ил. [The Foundations of Differential Geometry by Oswald Veblen and J. H. C. Whitehead. Cambridge: At the university press, 1932. 97 p. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. No. 29.]
• Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Лекции, читанные в Гёттингенском университете. В двух томах. Том второй геометрия / Перевод с немецкого Д. А. Крыжановского. Под редакцией В. Г. Болтянского. Издание второе. М.: Наука. Гл. ред. фнз.-мат. лит., 1987. 416 с. [ Felix Klein . Elementarmathematik vom höheren Standpunkte. Aus zweiter Band. Geometrie. Dritte Auflage. Berlin: Verlag von Julius Springer, 1925.]
• Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Труды Московского математического общества. 1953. Том 2. С. 275—382.
• Остиану Н. М. Геометрических объектов теория // Математическая энциклопедия : Гл. ред. И. М. Виноградов , т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 934—939.
• Смирнова Г. С. Связи между польскими и московскими математиками в первой половине XX века // Чебышёвский сборник. 2019. Т. 20, вып. 3. С. 494—505. DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-3-494-505.
• Schouten, J. A., van Kampen, E. R. Zur Einbettungs- und Krümmungstheorie nichtholonomer Gebilde. Math. Ann. 103, 752–783 (1930). .