Фигу́ра ( англ. shape ) — любое подмножество некоторого однородного пространства с фундаментальной группой , которое можно включить в некоторое пространство фигуры — множество подмножеств этого пространства такое, что это множество изоморфно некоторому пространству геометрического объекта . Компоненты геометрического объекта называются координатами соответствующей фигуры .

Ранг , жанр , характеристика и тип геометрического объекта называются рангом , жанром , характеристикой и типом соответствующей фигуры. Вместе они образуют арифметические инварианты фигуры. Например, окружность в трёхмерном евклидовом пространстве — это фигура ранга 6, жанра 1, характеристики 1 и типа 1; точка в трёхмерном проективном пространстве — это фигура ранга 3, жанра 0, характеристики 2 и типа 1 .

Вполне интегрируемая система уравнений Пфаффа , определяющая геометрический объект, называется системой уравнений инвариантности (стационарности) фигуры .

Простая и индуцирующая фигура

Пусть даны ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle {\bar {F}}}$ — две некоторые фигуры некоторого однородного пространства. Если существует отображение пространства фигуры ${\displaystyle F}$ на пространство фигуры ${\displaystyle {\bar {F}}}$ такое, что любой геометрический объект, соответствующий фигуре ${\displaystyle {\bar {F}}}$ , охватывается любым геометрическим объектом, соответствующим фигуре ${\displaystyle F}$ , то говорят, что фигура ${\displaystyle F}$ охватывает, или индуцирует , фигуру ${\displaystyle {\bar {F}}}$ (равно фигуру ${\displaystyle {\bar {F}}}$ охватывается, или индуцируется , фигурой ${\displaystyle F}$ ) .

Фигура ${\displaystyle F}$ ранга ${\displaystyle N}$ называется простой , если она не охватывает никакой другой фигуры меньшего ранга. Фигура ${\displaystyle F}$ называется индуцирующей фигурой индекса ${\displaystyle {\bar {N}}<N}$ , если существует охватываемая ею фигура ранга ${\displaystyle {\bar {N}}}$ , причем ранг ${\displaystyle N^{\prime }}$ любой другой фигуры ${\displaystyle F^{\prime }}$ , охватываемой фигурой ${\displaystyle F}$ , не превосходит ${\displaystyle {\bar {N}}}$ .

Например, точка, ${\displaystyle p}$ -мерная плоскость, гиперквадрика в ${\displaystyle n}$ -мерном проективном пространстве — простые фигуры. Гиперквадрика в ${\displaystyle n}$ -мерном аффинном пространстве и ${\displaystyle d}$ -мерная ( ${\displaystyle d\leqslant n-2}$ ) квадрика в ${\displaystyle n}$ -мерном проективном пространстве — индуцирующие фигуры соответственно индексов ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle (d+2)(n-d-1)}$ .

Пара фигур. Коэффициент инцидентности

Парой фигур ${\displaystyle F=(F_{1},F_{2})}$ называется упорядоченная множество двух фигур. Коэффициентом инцидентности пары фигур называется число

${\displaystyle k=N_{1}+N_{2}-N}$ ,

где ${\displaystyle N_{1}}$ и ${\displaystyle N_{2}}$ — ранги фигур ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$ соответственно, а ${\displaystyle N}$ — ранг системы форм

${\displaystyle \Omega ^{J_{1}}}$ , ${\displaystyle \Omega ^{J_{2}}}$ , ${\displaystyle J_{1}=1,2,\ldots ,N_{1}}$ , ${\displaystyle J_{2}=1,2,\ldots ,N_{2}}$ , —

левых частей уравнений стационарности фигур ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$ соответственно. Если коэффициент инцидентности пары ${\displaystyle k=0}$ , то пара ${\displaystyle F=(F_{1},F_{2})}$ называется неинцидентной .

Примечания

Источники

• Малаховский В. С. Фигура // Математическая энциклопедия : Гл. ред. И. М. Виноградов , т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 613—614.