Interested Article - Разность множеств

Ра́зность двух мно́жеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств и обозначается как , но иногда можно встретить обозначение и .

Пусть и — два указанных в определении множества, тогда их разность определяется (на теоретико-множественном языке):

Когда , множество часто называют дополнением множества до множества .

Обычно предполагается, что рассматриваются подмножества одного и того же множества, которое, в этом случае называют универсумом , скажем, . Тогда можно рассматривать вместе с каждым множеством и его дополнение до множества — множество , при обозначении которого часто опускается значок универсума: [ источник не указан 2798 дней ] ; при этом говорится, что — (просто) дополнение множества (без указания, дополнением до чего является данное множество).

С учётом данного замечания, оказывается, что , то есть дополнение множества до множества есть пересечение множества и дополнения множества .

Также применяется и операторная запись вида , или (если опустить универсальное множество) , , .

Операция разности множеств не является по определению симметричной по отношению ко входящим в неё множествам. Симметричный вариант теоретико-множественной разности двух множеств описывается понятием симметрической разности .

Примеры

  • Пусть . Тогда
  • Пусть — множество всех вещественных чисел , — множество рациональных чисел , а — множество целых чисел . Тогда — множество всех иррациональных чисел , а дробных .

Свойства

Пусть — произвольные множества.

  • Свойства пустого множества относительно разности:
  • Разность двух множеств содержится в уменьшаемом:
  • . Из этой формулы следует, что операция разности не является обратной операции суммы (то есть объединению).
  • Разность не пересекается с вычитаемым:
  • Разность множеств равна пустому множеству тогда и только тогда, когда уменьшаемое содержится в вычитаемом:
  • , если .
  • Если и , то
  • Если , то для любого выполняется . Это соотношение имеет свой аналог в арифметике : если , то для любого справедливо .

Компьютерные реализации

В пакете Mathematica операция реализована с помощью функции . В пакете MATLAB она же реализована с помощью функции .

В языке программирования Pascal (а также в его объектном расширении Object Pascal ) операция разности множеств представлена оператором «−», обоими операндами и результатом выполнения которого являются значения типа set .

В языке программирования Python операция реализована с помощью метода diff над объектом типа set.

Дополнение множества

Определение

Если из контекста следует, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного универсума , то определяется операция дополнения:

Свойства

В частности, если оба и непусты , то является разбиением .
  • Законы разности множеств:

Кодировка

Графема Название Юникод HTML LaTeX
COMPLEMENT U+2201 ∁ \complement

См. также

Литература

  • Лавров И. А. , Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — М. : Физматлит, 2004. — 256 с.
  • Куратовский К. , Мостовский А. / Пер. с англ. М. И. Кратко, под ред. А. Д. Тайманова . — М. : Мир, 1970. — С. , 20—22.

Примечания

  1. Ильин В. А. , Садовничий В. А. , Сендов Бл. Х. . Глава 2. Вещественные числа // / Под ред. А. Н. Тихонова . — 3-е изд. , перераб. и доп. — М. : Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 66. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7 . 23 июня 2015 года.
Источник —

Same as Разность множеств