Гипотеза Рамануджана — высказанное С. Рамануджаном предположение относительно величины коэффициентов Фурье ${\displaystyle \tau (n)}$ функции ${\displaystyle \Delta }$ (параболическая формы веса 12). Функция ${\displaystyle \Delta }$ есть собственная функция , ${\displaystyle \tau (n)}$ — соответствующие собственные значения .

Рамануджан предположил, что они удовлетворяют неравенству:

${\displaystyle |\tau (p)|\leqslant 2p^{11/2},}$

где ${\displaystyle p}$ — простое.

При этом функцию ${\displaystyle \tau (n)}$ называют также функцией Рамануджана .

обобщил гипотезу Рамануджана на случай собственных значений операторов Гекке модулярных форм веса ${\displaystyle k}$ , где целое ${\displaystyle k\geqslant 2}$ . Это так называемая гипотеза Петерсона .

Позднее Пьер Делинь свёл гипотезу Петерсона к гипотезе Вейля , которую впоследствии сам же доказал в 1974 году. Соответственно, этим была доказана и гипотеза, выдвинутая Рамануджаном.

Литература

• Ramanujan S. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 1916. — v. 22.
• Делинь П. Успехи математических наук. — 1975. — т. 30. — в. 5. — с. 159—190.
• Фоменко, О. М. Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. — М. : ВИНИТИ , 1977. — Т. 15. — С. 5—91.