Interested Article - Градуированная алгебра
- 2020-04-13
- 1
Градуированная алгебра — алгебра , разложенная в прямую сумму своих подпространств таким способом, что выполняется условие .
Определение
Пусть A — алгебра над кольцом k , G — полугруппа .
Алгебра A называется G - градуированной (синоним: на A задана G - градуировка ), если A разлагается в прямую сумму k -модулей по всем элементам g из G , причём умножение в алгебре согласовано с умножением в полугруппе:
Если ненулевой элемент a принадлежит , то он называется однородным степени g .
Когда в качестве G берут аддитивную группу целых чисел или полугруппу целых неотрицательных чисел, алгебру A называют просто градуированной.
Если в качестве A в определении выше взять кольцо , то получится определение градуированного кольца .
Конструкции с градуировками
- Если A — G -градуированная алгебра, а — гомоморфизм полугрупп, тогда A наделяется H -градуировкой по правилу:
- На любой алгебре A можно ввести тривиальную градуировку любой полугруппой G с единицей e , полагая , поэтому такие «бедные» градуировки рассматривать не имеет смысла.
-
Над полем
любая алгебра
A
градуируется группой
G
максимального тора
своей группы алгебраических автоморфизмов:
- для всякого
- Эта градуировка, в вышеопределённом смысле, — «самая богатая» из всех абелевых градуировок алгебры A , поскольку на любой G -градуированной алгебре A группа характеров G действует автоморфизмами, по той же формуле.
Примеры
- Кольцо многочленов от одной или нескольких переменных.
- Кольцо когомологий .
- Алгебра матриц порядка n градуируется группой
- — является G -градуированной алгеброй.
Градуированный модуль
Соответствующее понятие в теории модулей — градуированный модуль , а именно, левый модуль M над градуированным кольцом A , такой, что
- и
Морфизм градуированных модулей — это морфизм модулей, который сохраняет градуировку, то есть .
Для градуированного модуля M можно определить ℓ -подкрутку как градуированный модуль, определённый правилом . (См. скручивающий пучок Серра в алгебраической геометрии.)
Пусть M и N — градуированные модули. Если — морфизм модулей, то говорят, что f имеет степень d , если . Внешняя производная дифференциальной формы в дифференциальной геометрии — это пример морфизма степени 1.
Литература
- C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen. Graded Ring Theory. — Amsterdam: North-Holland, 1982. — ISBN 9780444864895 .
Примечания
- Данная градуированная алгебра называется также -градуированной.
- / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М. : Сов. энциклопедия, 1988. — С. . — 847 с. — 150 000 экз.
- 2020-04-13
- 1