Ёж в общей топологии — пример метризуемого пространства . Строится из центральной точки ${\displaystyle O}$ , единичного полуинтервала ${\displaystyle \mathbb {P} =(0,1]}$ и произвольного множества ${\displaystyle S}$ заданной мощности ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ , называемой колючестью ежа, как:

${\displaystyle J({\mathfrak {m}})=\{O\}\cup (\mathbb {P} \times S)}$ ,

с введением метрики следующим образом:

1. ${\displaystyle d(O,(x,s))=x}$
2. ${\displaystyle d((x,s_{1}),(y,s_{2}))={\begin{cases}|x-y|,&s_{1}=s_{2}\\x+y,&s_{1}\neq s_{2}\end{cases}}}$ .

Название возникло из-за ассоциации с «иголками» из отрезков, торчащими из точки. «Колючесть» в этой ассоциации сопоставляется с количеством игл. Таким образом, ${\displaystyle J(0)}$ — просто точка ${\displaystyle O}$ , ${\displaystyle J(1)=J(2)}$ — отрезок .

Свойства

• Ёж заданной колючести не зависит от выбора множества ${\displaystyle S}$ с точностью до гомеоморфизма .

• Теорема Ковальского о еже : Счётная степень ежа колючести ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ (при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\geq \aleph _{0}}$ ) является универсальным пространством для всех метризуемых пространств веса ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ . То есть любое метризуемое пространство веса ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ гомеоморфно подпространству счётной степени ежа колючести ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ .

• Ёж является полным пространством , также не является вполне ограниченным пространством , при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\geq \aleph _{0}}$ , не сильно паракомпактен при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}>\aleph _{0}}$ .

• Ёж не является локально сепарабельным при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}>\aleph _{0}}$ .

• ${\displaystyle J({\mathfrak {m}})}$ вкладывается в ${\displaystyle J({\mathfrak {n}})}$ при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\leq {\mathfrak {n}}}$ .

• ${\displaystyle J({\mathfrak {m}})}$ вкладывается в плоскость ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ только при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}<\aleph _{0}}$ .

• Если ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ — конечно, то вес , плотность , характер , клеточность и число Линделёфа ежа ${\displaystyle J({\mathfrak {m}})}$ равны ${\displaystyle \aleph _{0}}$ . Иначе (при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\geq \aleph _{0}}$ ) характер равен ${\displaystyle \aleph _{0}}$ , а вес, плотность, клеточность и число Линделёфа равны ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ .

• Квадрат триноги ${\displaystyle J(3)}$ не вкладывается в трёхмерное евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ .

• На плоскости ( ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ) нельзя расположить несчётное количество триодов ${\displaystyle J(3)}$ так, чтобы они попарно не пересекались.

• Образ ежа при открытом отображении — снова ёж не большей колючести (здесь следует аккуратно понимать совпадающие случаи ${\displaystyle J(1)}$ и ${\displaystyle J(2)}$ ).

Примечания

Литература

• Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М. : Мир , 1986. — С. 374-375. — 752 с.