Зацепление Хопфа — простейшее нетривиальное зацепление с двумя и более компонентами , состоит из двух окружностей , зацеплённых однократно и названо по имени Хайнца Хопфа .

Геометрическое представление

Конкретная модель состоит из двух единичных окружностей в перпендикулярных плоскостях, таких что каждая проходит через центр другой . Эта модель минимизирует (длина верёвки — инвариант теории узлов) зацепления и до 2002 года зацепление Хопфа являлось единственным, у которого длина верёвки была известна . Выпуклая оболочка этих двух окружностей образует тело, называемое олоидом .

Свойства

В зависимости от относительной двух компонент коэффициент зацепления Хопфа равен ±1 .

Зацепления Хопфа является (2,2)- торическим зацеплением с описывающим словом ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ .

Дополнение зацепления Хопфа — ${\displaystyle \mathbb {R} \times S^{1}\times S^{1}}$ , цилиндр над тором . Это пространство имеет локально евклидову геометрию , так что зацепление Хопфа не является гиперболическим . Группа узлов зацепления Хопфа ( фундаментальная группа его дополнения) — это ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ( свободная абелева группа на двух генераторах) и она отличает зацепление Хопфа от двух незацеплённых окружностей, которым соответствует свободная группа на двух генераторах .

Зацепление Хопфа не может быть раскрашено в три цвета . Это непосредственно следует из факта, что зацепление можно раскрасить лишь в два цвета, что противоречит второй части определения раскраски. В каждом пересечении будет максимум 2 цвета, так что при раскраске мы нарушим требование иметь 1 или 3 цвета в каждом пересечении, либо нарушим требование иметь более 1 цвета.

Расслоение Хопфа

Расслоение Хопфа — это непрерывное отображение из 3-сферы (трёхмерная поверхность в четырёхмерном евклидовом пространстве ) в более привычную 2-сферу , такое, что прообраз каждой точки на 2-сфере является окружностью. Таким образом получается разложение 3-сферы на непрерывное семейство окружностей и каждые две различных окружности из этого семейства образуют зацепление Хопфа. Этот факт и побудил Хопфа заняться изучением зацеплений Хопфа — поскольку любые два слоя зацеплены , расслоение Хопфа является нетривиальным . С этого началось изучение гомотопических групп сфер .

История

Зацепление названо именем тополога Хайнца Хопфа , исследовавшего его в 1931 году в работе по расслоению Хопфа . Однако такое зацепление использовал ещё Гаусс , а вне математики оно встречалось задолго до этого, например, в качестве герба японской буддийской секты , основанной в XVI столетии.

См. также

• Катенаны , химические соединения с двумя механически сцеплёнными молекулами
• Узел Соломона , два кольца с двойным зацеплением

Примечания

Литература

• Прасолов В. В., Сосинский А. Б. . Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. — М. : МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3 .
• Adams, Colin Conrad. . The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781 .
• Cantarella J., Kusner R. B., Sullivan J. M. On the minimum ropelength of knots and links // Inventiones Mathematicae. — 2002. — Vol. 150, no. 2. — doi : . — arXiv : .
• Dirnböck H., Stachel H. The development of the oloid // Journal for Geometry and Graphics. — 1997. — Vol. 1, no. 2.
• Hatcher, Allen. . Algebraic Topology. — 2002. — ISBN 9787302105886 .
• Hopf, Heinz. Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche // Mathematische Annalen . — Berlin: Springer , 1931. — doi : .
• Kauffman, Louis H. . On Knots. — Princeton University Press, 1987. — Vol. 115. — (Annals of Mathematics Studies). — ISBN 9780691084350 .
• Kusner R. B., Sullivan J. M. . Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996). — New York: Springer, 1998. — Vol. 103. — (IMA Vol. Math. Appl.). — doi : .
• Shastri, Anant R. . Basic Algebraic Topology. — CRC Press, 2013. — ISBN 9781466562431 .
• Turaev, Vladimir G. . Quantum Invariants of Knots and 3-manifolds. — Walter de Gruyter, 2010. — Vol. 18. — (De Gruyter studies in mathematics). — ISBN 9783110221831 .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• , The Knot Atlas