Примечание: всюду в данной статье, где используется знак ${\displaystyle \int }$ имеется в виду ${\displaystyle \left(R\right)\int }$ , если не оговорено обратное;
всюду в данной статье, где говорится об измеримости множества, имеется в виду измеримость по Жордану , если не оговорено обратное.

Определение

Пусть ${\displaystyle A}$ - измеримое (по Жордану) множество. Разбиение ${\displaystyle T}$ множества ${\displaystyle A}$ - это любой набор ${\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{m}}$ измеримых множеств, пересекающихся лишь по границам и ${\displaystyle \bigcup _{1}^{m}A_{i}=A}$ . Выберем точки ${\displaystyle \xi _{i}\in A_{i},\ i=1,\ldots ,m,\ \xi =\left\{\xi _{i}\right\}_{i=1}^{m}}$ - получили ${\displaystyle (T,\xi )=\left\{A_{i},\xi _{i}\right\}_{i=1}^{m}}$ - разбиение с отмеченными точками .

Пусть функция ${\displaystyle f}$ определена на ${\displaystyle A}$ , тогда интегральной суммой называется ${\displaystyle \sigma (f,T,\xi )=\sum _{k=1}^{m}f(\xi _{k})\mu A_{k}}$ .

Функция ${\displaystyle f}$ интегрируема по Риману в кратном смысле на ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle I}$ - её интеграл, если ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0}$ : для любого отмеченного разбиения ${\displaystyle (T,\xi )}$ с ${\displaystyle \xi _{i}\in {}A_{i}}$ и диаметром ${\displaystyle dAi=\sup \limits _{x,\,y\in A_{i}}\rho (x,y)<\delta }$ выполняется неравенство ${\displaystyle \left|\sigma (f,T,\xi )-I\right|<\varepsilon }$ . Обозначается интеграл от функции ${\displaystyle f}$ на измеримом множестве ${\displaystyle A}$ : ${\displaystyle \int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}}$ .

Некоторые свойства кратного интеграла Римана

1. Если функция ${\displaystyle f}$ на измеримом множестве ${\displaystyle A}$ , то ${\displaystyle \exists \delta >0}$ , что функция ${\displaystyle f}$ ограничена на множестве ${\displaystyle A_{\delta }=\left\{x\in A:\ \rho (x,{\mbox{int}}A)<\delta \right\}}$ , где ${\displaystyle {\mbox{int}}A}$ - внутренность ${\displaystyle A}$ . (См. ).
2. Если функция ${\displaystyle f}$ на измеримом множестве ${\displaystyle A}$ , функция ${\displaystyle g}$ определена на ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ на ${\displaystyle A_{\delta }}$ для некоторого ${\displaystyle \delta >0}$ , то ${\displaystyle g}$ интегрируема по Риману на ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle \int \limits _{A}g\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}}$ .
3. Линейность. Если ${\displaystyle f\in R(A)}$ ( и на ${\displaystyle A}$ ), то ${\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {R} }$ функция ${\displaystyle \alpha {}f\in R(A)}$ и ${\displaystyle \int \limits _{A}\alpha f\,d{\vec {x}}=\alpha \int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}}$ . Если ${\displaystyle f,g\in R(A)}$ , то ${\displaystyle f\pm g\in R(A)}$ и ${\displaystyle \int \limits _{A}(f\pm g)\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}\pm \int \limits _{A}g\,d{\vec {x}}}$ . Следует из свойств интеграла как предела по базе .
4. Аддитивность по множествам. Если ${\displaystyle f\in R(A)}$ и ${\displaystyle f\in R(B)}$ , то ${\displaystyle f\in R(A\cup B)}$ и, если ${\displaystyle \mu (A\cap B)=0}$ , то ${\displaystyle \int \limits _{A\cup B}f\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}+\int \limits _{B}f\,d{\vec {x}}}$ . Первая часть следует из .
5. Интегрируемость по подмножеству. Если ${\displaystyle f\in R(A)}$ , ${\displaystyle B}$ - измеримое по Жордану подмножество ${\displaystyle A}$ , то ${\displaystyle f\in R(B)}$ . Следует из .
6. Если ${\displaystyle f,g\in R(A)}$ , то ${\displaystyle f*g\in R(A)}$ . Следует из .
7. Если ${\displaystyle f\in R(A)}$ , функция ${\displaystyle \varphi }$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]\supset f(A)\Rightarrow \varphi (f)\in R(A)}$ . Следует из .
8. Если ${\displaystyle f\in R(A)}$ , и ${\displaystyle f}$ изменить на множестве ${\displaystyle B\subset A,\ \mu B=0}$ , то измененная функция ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ , при условии её ограниченности на ${\displaystyle A}$ , также на ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle \int \limits _{A}{\tilde {f}}\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}}$ .
9. Если ${\displaystyle f,g\in R(A)}$ и ${\displaystyle f(x)\leqslant g(x)}$ на ${\displaystyle A}$ , то ${\displaystyle \int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}\leqslant \int \limits _{A}g\,d{\vec {x}}}$ . Следует из свойств интеграла как предела по базе .
10. Если ${\displaystyle f\in R(A)}$ , то ${\displaystyle \left|f\right|\in R(A)}$ и ${\displaystyle \left|\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}\right|\leqslant \int \limits _{A}\left|f\right|\,d{\vec {x}}}$ .
11. Если ${\displaystyle f\in R(A)}$ , ${\displaystyle f(x)\geqslant 0}$ на ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle f(x_{0})>0,\ x_{0}}$ - внутренняя точка ${\displaystyle A}$ и точка непрерывности ${\displaystyle f}$ , то ${\displaystyle \int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}>0}$ .

Теоремы

• Критерий интегрируемости Дарбу .

Ограниченная функция ${\displaystyle f}$ на измеримом множестве ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow \ I_{*}(f)=I^{*}(f)}$ , и в случае равенства: ${\displaystyle I_{*}(f)=I^{*}(f)=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}}$ , где ${\displaystyle I_{*}}$ и ${\displaystyle I^{*}}$ - соответственно нижний и верхний интегралы Дарбу .

• .

${\displaystyle f}$ на измеримом множестве ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow \ f}$ непрерывна почти всюду на ${\displaystyle A}$ .

• .
  • Теорема 1. Пусть ${\displaystyle A}$ - измеримое множество в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\ E\subset A}$ . Тогда измеримость по Жордану множества ${\displaystyle E\ \Leftrightarrow }$ характеристическая функция ${\displaystyle \chi _{E}}$ на ${\displaystyle A}$ , и в случае измеримости ${\displaystyle E}$ выполняется равенство: ${\displaystyle \mu E=\int \limits _{A}\chi _{E}\,d{\vec {x}}}$ .
  • Теорема 2. Пусть ${\displaystyle A}$ - измеримое множество в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , функция ${\displaystyle f({\vec {x}})\geqslant 0}$ на ${\displaystyle A}$ . Пусть множество ${\displaystyle A_{f}=\left\{({\vec {x}},y)\in \mathbb {R} ^{n+1}:\ {\vec {x}}\in A,\ 0\leqslant y\leqslant f({\vec {x}})\right\}}$ . Тогда функции ${\displaystyle f}$ на множестве ${\displaystyle A\ \Leftrightarrow }$ множество ${\displaystyle A_{f}}$ измеримо по Жордану в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ . При этом в случае измеримости ${\displaystyle A_{f}}$ выполняется равенство: ${\displaystyle \mu ^{n+1}A_{f}=\int \limits _{A}\,fd{\vec {x}}}$ .
  • Следствие. на измеримом множестве ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ функция ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle A\ \Leftrightarrow }$ множества ${\displaystyle A_{f}^{+}=\left\{({\vec {x}},y)\in \mathbb {R} ^{n+1}:\ {\vec {x}}\in A,\ 0\leqslant y\leqslant f({\vec {x}})\right\}}$ и ${\displaystyle A_{f}^{-}=\left\{({\vec {x}},y)\in \mathbb {R} ^{n+1}:\ {\vec {x}}\in A,\ f({\vec {x}})\leqslant y\leqslant 0\right\}}$ измеримы по Жордану в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ . И в случае их измеримости выполняется равенство: ${\displaystyle \int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}=\mu ^{(n+1)}A_{f}^{+}-\mu ^{(n+1)}A_{f}^{-}}$ .
• .
  • Теорема. Пусть функция ${\displaystyle f\in R(\Pi )}$ , где ${\displaystyle \Pi }$ - , являющийся произведением промежутков : ${\displaystyle \Pi =\prod _{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n}}$ . Пусть ${\displaystyle 1\leqslant m<n}$ , для каждого ${\displaystyle {\vec {\xi }}\in \Pi ^{''}=\prod _{k=m+1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n-m}}$ , обозначим через ${\displaystyle I_{*}({\vec {\xi }})}$ и ${\displaystyle I^{*}({\vec {\xi }})}$ нижний и верхний интегралы Дарбу от ${\displaystyle f({\vec {x}}\,',{\vec {\xi }})}$ по ${\displaystyle {\vec {\xi }}\,'\in \mathbb {R} ^{m}}$ на ${\displaystyle \Pi ^{'}=\prod _{k=1}^{m}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{m}}$ . Тогда ${\displaystyle I_{*}({\vec {\xi }})}$ и ${\displaystyle I^{*}({\vec {\xi }})}$ на ${\displaystyle \Pi ^{''}}$ и ${\displaystyle \int \limits _{\Pi ^{''}}I_{*}({\vec {\xi }})\,d{\vec {\xi }}=\int \limits _{\Pi ^{''}}I^{*}({\vec {\xi }})\,d{\vec {\xi }}=\int \limits _{\Pi }f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}}$ .
  • Следствие 1. Пусть ${\displaystyle f\in R(\Pi )}$ , где ${\displaystyle \Pi }$ - , являющийся произведением промежутков : ${\displaystyle \Pi =\prod _{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n},\ 1\leqslant m<n.\ \Pi ^{''}=\prod _{k=m+1}^{n}[a_{k},b_{k}]}$ . Пусть ${\displaystyle I({\vec {x}}\,''),\ {\vec {x}}\,''\in \Pi ^{''}}$ , такая функция на ${\displaystyle \Pi ^{''}}$ , что ${\displaystyle I_{*}({\vec {x}}\,'')\leqslant I({\vec {x}}\,'')\leqslant I^{*}({\vec {x}}\,'')\leqslant }$ , где ${\displaystyle I_{*}({\vec {x}}\,'')}$ и ${\displaystyle I^{*}({\vec {x}}\,'')}$ - соответственно нижний и верхний интегралы Дарбу от ${\displaystyle f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')}$ при фиксированном ${\displaystyle {\vec {x}}\,''}$ по ${\displaystyle {\vec {x}}\,'}$ на ${\displaystyle \Pi ^{'}=\prod _{k=1}^{m}[a_{k},b_{k}]}$ . Тогда функция ${\displaystyle I({\vec {x}}\,'')}$ на ${\displaystyle \Pi ^{''}}$ и ${\displaystyle \int \limits _{\Pi ^{''}}I({\vec {x}}\,')\,d{\vec {x}}\,''=\int \limits _{\Pi }f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}}$ .
  • Следствие 2. Пусть ${\displaystyle f\in R(\Pi )}$ , где ${\displaystyle \Pi }$ - , являющийся произведением промежутков : ${\displaystyle \Pi =\prod _{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n},\ 1\leqslant m<n}$ . Если ${\displaystyle \forall {\vec {x}}\,''\in \Pi ^{''}=\prod _{k=m+1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n-m}}$ , функция ${\displaystyle f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')}$ на ${\displaystyle \Pi ^{'}=\prod _{k=1}^{m}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{m}}$ , то её интеграл ${\displaystyle \int \limits _{\Pi ^{'}}f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\,d{\vec {x}}\,'}$ на ${\displaystyle \Pi ^{''}}$ и ${\displaystyle \int \limits _{\Pi ^{''}}{\int \limits _{\Pi ^{'}}f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\,d{\vec {x}}\,'}\,d{\vec {x}}\,''=\int \limits _{\Pi }f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}}$
  • Следствие 3 . Пусть ${\displaystyle f\in R(A)}$ . Обозначим через ${\displaystyle A^{''}}$ - множества ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-m},\ A^{''}=\left\{{\vec {x}}\,''\in \mathbb {R} ^{n-m}:\ \exists {\vec {x}}\,'\in \mathbb {R} ^{m},\right.}$ что ${\displaystyle \left.({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\in A\right\},\ 1\leqslant m<n}$ . Для ${\displaystyle {\vec {x}}\,''\in A}$ обозначим через ${\displaystyle A^{'}}$ - множества ${\displaystyle A,\ A^{'}({\vec {x}}\,''=\left\{{\vec {x}}\,'\in \mathbb {R} ^{m}:\ ({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\in A\right\}}$ . Предположим, что ${\displaystyle A^{''}}$ и все ${\displaystyle A^{'}}$ - измеримые по Жордану множества в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-m}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ соответственно, причём для каждого ${\displaystyle {\vec {x}}\,''\in A^{''}}$ функция ${\displaystyle f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\in R(A^{'}({\vec {x}}\,''))}$ . Тогда ${\displaystyle \int \limits _{A^{'}({\vec {x}}\,'')}f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\,d{\vec {x}}\,'}$ на ${\displaystyle A^{''}}$ и ${\displaystyle \int \limits _{A^{''}}{\int \limits _{A^{'}({\vec {x}}\,'')}f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\,d{\vec {x}}\,'}\,d{\vec {x}}\,''=\int \limits _{A}f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}}$ .

См. также

• Кратный интеграл
• Одномерный интеграл Римана
• Интеграл Римана — Стилтьеса
• Интеграл Лебега
• Интеграл Курцвейля — Хенстока
• Теорема Фубини
• Формула Ньютона — Лейбница
• Интеграл Даниэля