Линейное приближение ( линейная аппроксимация ) — приближение произвольной функции линейной функцией . Применяется для приближённых расчётов , в методе конечных разностей для решения дифференциальных уравнений .

Для непрерывно дифференцируемой в окрестности точки ${\displaystyle a}$ функции вещественной переменной ${\displaystyle f(x)}$ линейное приближение определяется как:

${\displaystyle f_{a}^{*}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)}$ .

Определение получается из равенства из теоремы Тейлора ${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}}$ игнорированием остаточного члена ${\displaystyle R_{2}(x)=o(|x-a|)}$ . Поскольку в ближайшей окрестности точки ${\displaystyle a}$ значения этой функции близки к значениям ${\displaystyle f(x)}$ , её можно использовать как замену значений ${\displaystyle f(x)}$ в приближённых вычислениях. При этом в общем случае погрешность возрастает при удалении от ${\displaystyle a}$ и равна ${\displaystyle R_{2}}$ . График функции ${\displaystyle f_{a}^{*}(x)}$ — касательная к графику ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle a}$ .

Определение естественным образом обобщается на многомерный случай (вместо производной используется матрица Якоби ) и на случай банаховых пространств (с использованием производной Фреше ).

Литература

• Weinstein, Alan ; Marsden, Jerrold E. Calculus III (неопр.) . — Berlin: Springer-Verlag , 1984. — С. 775. — ISBN 0-387-90985-0 .
• Strang, Gilbert . Calculus (англ.) . — Wellesley College, 1991. — P. 94. — ISBN 0-9614088-2-0 .
• ; How to Prepare for the AP Calculus (англ.) . — Hauppauge, NY: Barrons Educational Series, 2005. — P. 118. — ISBN 0-7641-2382-3 .