Interested Article - Метод Лагранжа (дифференциальные уравнения)

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения , зная общее решение однородного уравнения , без нахождения частного решения .

Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

Станем искать решение уравнения

полагая, что для соответствующего ему однородного уравнения

известно решение, которое запишем как

Метод состоит в замене произвольных постоянных в общем решении на вспомогательные функции .

Производная для запишется

Но мы потребуем дополнительно (ниже показано, что проблем это не вызовет), чтобы

Таким образом,

Вводя схожие требования для при последовательном дифференцировании до (n-1) порядка, получим

А для старшей производной, соответственно

После подстановки в исходное уравнение и сокращения в нём однородного решения (1), останется

В результате, приходим к

Определителем системы (2) служит вронскиан функций , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .

Если — первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам .

Примеры

1) Уравнение, в частности возникающее в законе радиоактивного распада

Общее решение элементарно интегрируется:

Применим метод Лагранжа:

Откуда искомое решение

2) Уравнение гармонического осциллятора

Решение однородного уравнения запишем в виде

Согласно системе (2) получаем:

Восстановим решение:

Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме

состоит в построении общего решения (3) в виде

где — базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция , заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением . Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями) при имеет вид

Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:

Матрица называется матрицей Коши оператора .

Ссылки

  • — Теоретическая справка c примерами
Источник —

Same as Метод Лагранжа (дифференциальные уравнения)