Минимизирующая последовательность — конструкция, используемая в вариационном исчислении и математической оптимизации для задачи нахождения минимального значения функции ( функционала ) и задачи отыскания элемента, на котором функция принимает минимальное значение.

Формально, последовательность ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ ( ${\displaystyle x_{i}\in M}$ ) для непрерывной функции ${\displaystyle f}$ , определённой на множестве ${\displaystyle M}$ , называется минимизирующей, если последовательность значений ${\displaystyle \{f(x_{i})\}}$ стремится к точной нижней грани значений данной функции на ${\displaystyle M}$ :

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }f(x_{n})=\inf _{x\in M}f(x)}$ .

Минимизирующие последовательности не обязательно сходятся к элементу ${\displaystyle x^{\star }}$ , в котором достигается минимум ${\displaystyle \inf f(x)=f(x^{\star })}$ , то есть ${\displaystyle lim_{i\to \infty }{x_{i}}\neq x^{\star }}$ в общем случае. Если же всякая минимизирующая последовательность сходится к элементу ${\displaystyle x^{\star }}$ , то задача минимизации функции ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle M}$ называется устойчивой . Методы решения устойчивых задач минимизации с использованием минимизирующих последовательностей подразделяются на три класса: прямые (не используют производные функции), методы спуска (использующие первые производные, например, метод градиентного спуска ), и алгоритмы с использованием производных высших порядков.

Для решения неустойчивых задач минимизации для построения минимизирующих последовательностей используются методы регуляризации .

См. также

• ( англ. )

Ссылки

• Минимизирующая последовательность — статья из Математической энциклопедии . Ю. В. Ракитский