Однолистная функция — комплексная функция ${\displaystyle f(z)}$ , голоморфная или мероморфная в области ${\displaystyle A\in \mathbb {C} }$ и являющаяся биективным отображением между множеством ${\displaystyle A}$ и его образом ${\displaystyle f(A)}$ .

Аналитическая функция ${\displaystyle f}$ локально однолистна в точке ${\displaystyle z_{0}}$ , если существует некоторая окрестность ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$ , где ${\displaystyle f}$ однолистна (то есть ${\displaystyle f'(z_{0})\neq 0}$ ). Максимальная область однолистности для функции ${\displaystyle f(z)}$ — это область ${\displaystyle A\subset \mathbb {C} }$ , в которой ${\displaystyle f(z)}$ однолистна, но в любой области ${\displaystyle A'\supset A}$ функция уже не является однолистной.

Принцип однолистности: функция ${\displaystyle f}$ , аналитичная в области ${\displaystyle G}$ , которая продолжается непрерывно на жорданову кривую ${\displaystyle \partial G}$ и осуществляет взаимно однозначное отображение ${\displaystyle \partial G}$ на ${\displaystyle f(\partial G)}$ , однолистна в ${\displaystyle G}$ .

Примеры

Функция ${\displaystyle f:z\mapsto 2z+z^{2}}$ является однолистной в открытом единичном круге: из ${\displaystyle f(z)=f(w)}$ следует, что ${\displaystyle f(z)-f(w)=(z-w)(z+w+2)=0}$ , и так как ${\displaystyle \left\vert z+w\right\vert <2}$ , то ${\displaystyle f(z)=f(w)}$ лишь при ${\displaystyle z=w}$ .

См. также

• Гипотеза Бибербаха
• Вариация однолистной функции
• Многозначная функция

Примечания

Литература

• Дженкинс, Дж. / пер. с англ. В. П. Хавина . — М. : Издательство иностранной литературы , 1962.
• Милин, И. М. . — М. : Наука , 1971.