Однородная функция степени ${\displaystyle q}$ — числовая функция ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ такая, что для любого ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}}$ из области определения функции ${\displaystyle f}$ и любого ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ выполняется равенство:

${\displaystyle f(\lambda \mathbf {v} )=\lambda ^{q}f(\mathbf {v} ).\qquad \qquad (*)}$

Параметр ${\displaystyle q}$ называется порядком однородности . Подразумевается, что если ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}}$ входит в область определения функции, то все точки вида ${\displaystyle \lambda \mathbf {v} }$ тоже входят в область определения функции.

Различают также

• положительно однородные функции , для которых равенство ${\displaystyle (*)}$ выполняется только для положительных ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (\lambda >0),}$
• абсолютно однородные функции для которых выполняется равенство
  ${\displaystyle f(\lambda \mathbf {v} )=|\lambda |^{q}f(\mathbf {v} ),}$
• ограниченно однородные функции , для которых равенство ${\displaystyle (*)}$ выполняется только для некоторых выделенных значений ${\displaystyle \lambda ,}$
• комплексные однородные функции ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$ для которых равенство ${\displaystyle (*)}$ справедливо при ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$ и ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ (а также для комплексных показателей ${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$ ).

Альтернативное определение однородной функции

В некоторых математических источниках однородными называются функции, являющиеся решением функционального уравнения

с заранее неопределённой функцией ${\displaystyle g(\lambda )}$ и лишь потом доказывается, что ${\displaystyle g(\lambda )=\lambda ^{q}.}$ Для единственности решения ${\displaystyle g(\lambda )=\lambda ^{q}}$ нужно дополнительное условие, что функция ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ не равна тождественно нулю и что функция ${\displaystyle g(\lambda )}$ принадлежит определённому классу функций (например, была непрерывной или была монотонной). Однако, если функция ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ непрерывна хотя бы в одной точке с ненулевым значением функции, то ${\displaystyle g(\lambda )}$ должна быть непрерывной функцией при всех значениях ${\displaystyle \lambda ,}$ и тем самым для широкого класса функций ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ случай ${\displaystyle g(\lambda )\equiv \lambda ^{q}}$ — единственно возможный.

Обоснование:

Функция, тождественно равная нулю, удовлетворяет функциональному уравнению ${\displaystyle f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )}$ при любом выборе функции ${\displaystyle g(\lambda ),}$ однако этот вырожденный случай не представляет особого интереса.

Если же в какой-то точке ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$ значение ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{0})\neq 0,}$ то:

1. ${\displaystyle g(\lambda _{1}\lambda _{2})f(\mathbf {v} _{0})=f(\lambda _{1}\lambda _{2}\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{1})f(\lambda _{2}\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2})f(\mathbf {v} _{0})}$ , откуда:
   $${\displaystyle \forall \lambda _{1},\lambda _{2}:g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2});}$$

   
2. ${\displaystyle g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2})\Leftrightarrow G(\mu _{1}+\mu _{2})=G(\mu _{1})+G(\mu _{2}),}$ где ${\displaystyle \mu =\log \lambda ,G(\mu )=\log g(\exp(\mu )).}$

Функциональное уравнение Коши ${\displaystyle G(\mu _{1}+\mu _{2})=G(\mu _{1})+G(\mu _{2})}$ имеет решение в виде линейной функции: ${\displaystyle G(t)=q\cdot t,}$ причём для класса непрерывных или класса монотонных функций это решение единственное. Поэтому если известно, что ${\displaystyle g(\lambda )}$ непрерывная или монотонная функция, то ${\displaystyle g(\lambda )\equiv \lambda ^{q}.}$

Свойства

1. Если ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$ — однородные функции одного и того же порядка ${\displaystyle q,}$ то их линейная комбинация с постоянными коэффициентами будет однородной функцией того же порядка ${\displaystyle q.}$
2. Если ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$ — однородные функции с порядками ${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,}$ то их произведение будет однородной функцией с порядком ${\displaystyle q=q_{1}+q_{2}+\dots .}$
3. Если ${\displaystyle f}$ — однородная функция порядка ${\displaystyle q,}$ то её ${\displaystyle m}$ -ая степень (не обязательно целочисленная), если она имеет смысл (то есть если ${\displaystyle m}$ — целое число, или если значение ${\displaystyle f}$ положительно), будет однородной функцией порядка ${\displaystyle mq}$ на соответствующей области определения. В частности, если ${\displaystyle f}$ — однородная функция порядка ${\displaystyle q}$ , то ${\displaystyle 1/f}$ будет однородной функцией порядка ${\displaystyle (-q)}$ и областью определения в точках, где ${\displaystyle f}$ определена и не равна нулю.
4. Если ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$ — однородная функция порядка ${\displaystyle p,}$ а ${\displaystyle h_{k}\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\right)}$ — однородные функции порядка ${\displaystyle q,}$ то суперпозиция функций ${\displaystyle F\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\right)=f\left(h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}\right)}$ будет однородной функцией порядка ${\displaystyle pq.}$
5. Если ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$ — однородная функция ${\displaystyle n}$ переменных степени ${\displaystyle p,}$ и гиперплоскость ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\dots =x_{j}=0}$ принадлежит её области определения, то функция ${\displaystyle \left(n-j\right)}$ переменных ${\displaystyle g\left(x_{j+1},x_{j+2},\dots ,x_{n}\right)=f\left(0,\dots ,0,x_{j+1},\dots ,x_{n}\right)}$ будет однородной функцией степени ${\displaystyle p.}$
6. Логарифм однородной функции нулевого порядка или логарифм модуля однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка. Логарифм однородной функции или логарифм модуля однородной функции является однородной функцией тогда и только тогда, когда порядок однородности самой функции равен нулю.
7. Модуль однородной функции или модуль абсолютно-однородной функции является абсолютно-однородной функцией. Модуль однородной функции или модуль положительно однородной функции является положительно однородной функцией. Модуль однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка. Абсолютно-однородная функция нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка, и наоборот.
8. Произвольная функция от однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка.
9. Если ${\displaystyle h_{k}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$ —— положительно однородные функции порядка ${\displaystyle p,}$ где ${\displaystyle p\neq 0,}$ а ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=g\left(h_{1},h_{2},\dots ,h_{m}\right)}$ —— положительно однородная функция порядка ${\displaystyle q,}$ то функция ${\displaystyle g\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\right)}$ будет положительно однородной функцией порядка ${\displaystyle q/p}$ во всех точках ${\displaystyle y}$ , в которых система уравнений ${\displaystyle y_{1}=h_{1}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$ , ..., ${\displaystyle y_{m}=h_{m}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$ имеет решение. Если при этом ${\displaystyle p}$ —— нечётное целое число , то положительную однородность можно заменить на обычную однородность. Следствие: если имеется непрерывная или монотонная функция ${\displaystyle g(y)}$ , причём ${\displaystyle g\left(f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)\right)}$ —— однородная или положительно однородная функция, где ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$ —— однородная или положительно однородная функция ненулевого порядка, то ${\displaystyle g(y)=cy^{m}}$ —— степенная функция во всех точках ${\displaystyle y}$ , в которых уравнение ${\displaystyle y=f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$ имеет решение. В частности, ${\displaystyle f(x)=cx^{q}}$ —— единственная монотонная или непрерывная функция одного переменного, являющаяся однородной функцией порядка ${\displaystyle q}$ . (Доказательство дублирует рассуждения из раздела «Альтернативное определение однородной функции» этой статьи. При этом если снять ограничение, что функция ${\displaystyle g(y)}$ —— непрерывная или же монотонная, то могут иметься и другие, весьма экзотические решения для ${\displaystyle g(y)}$ , см. статью «Базис Гамеля» .)
10. Если функция ${\displaystyle f}$ является многочленом от ${\displaystyle n}$ переменных, то она будет однородной функцией степени ${\displaystyle q}$ в том и только в том случае, когда ${\displaystyle f}$ — однородный многочлен степени ${\displaystyle q.}$ В частности, в этом случае порядок однородности ${\displaystyle q}$ должен быть натуральным числом или нулём. (Для доказательства надо сгруппировать вместе мономы многочлена ${\displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$ с одинаковыми порядками однородности ${\displaystyle k_{j}=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}}$ , подставить результат в равенство ${\displaystyle (*)}$ и использовать тот факт, что степенные функции ${\displaystyle \lambda ^{k_{1}},\lambda ^{k_{2}},\dots }$ с разными показателями степени, в том числе и нецелочисленными, являются линейно независимыми.) Утверждение можно обобщить на случай линейных комбинаций мономов вида ${\displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$ с нецелочисленными индексами.
11. Если конечное произведение многочленов является однородной функцией, то каждый сомножитель является однородным многочленом . (Для доказательства выберем в каждом сомножителе мономы ${\displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$ с минимальным и максимальным порядками однородности ${\displaystyle k=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}}$ . Поскольку после перемножения получившийся многочлен должен состоять из мономов с одним и тем же порядком однородности, то для каждого сомножителя минимальный и максимальный порядок однородности должен быть одним и тем же числом.) Утверждение можно обобщить на случай линейных комбинаций мономов вида ${\displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$ с нецелочисленными индексами.
12. Если числитель и знаменатель дробно-рациональной функции ${\displaystyle f={\frac {P_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})}{Q_{m}(x_{1},\dots ,x_{m})}}}$ являются однородными многочленами , функция будет однородной с порядком однородности, равным разности порядков однородности числителя и знаменателя. Если дробно-рациональная функция является однородной, её числитель и знаменатель с точностью до общего множителя — однородные многочлены . Утверждение можно обобщить на случай дробно-рационального отношения линейных комбинаций мономов вида ${\displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$ с нецелочисленными индексами.
13. Однородная функция ненулевой степени в нуле равна нулю, если она там определена: ${\displaystyle f(\mathbf {0} )=0.}$ (Получается при подстановке в равенство ${\displaystyle (*)}$ значения ${\displaystyle \lambda =0}$ либо, в случае отрицательной степени однородности, значения ${\displaystyle \mathbf {v} =0.}$ ) Однородная функция нулевой степени, если она определена в нуле, может принимать в этой точке любое значение.
14. Если однородная функция нулевой степени непрерывна в нуле, то она является константой (произвольной). Если однородная функция отрицательной степени непрерывна в нуле, то она тождественный ноль. (Преобразованием ${\displaystyle \mathbf {v'} =\lambda \mathbf {v} }$ можно любую точку ${\displaystyle \mathbf {v} }$ сколь угодно близко приблизить к нулю. Поэтому если функция в нуле непрерывна, то можно выразить значение функции в точке ${\displaystyle \mathbf {v} }$ через её значение в точке ${\displaystyle \mathbf {0} }$ с помощью соотношения ${\displaystyle \lim _{\lambda \to 0}\lambda ^{q}f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {0} ).}$ )
15. Однородная функция положительной степени в нуле стремится к нулю по любому направлению, которое входит в её область определения, а однородная функция отрицательной степени —— к бесконечности, знак которой зависит от направления, если только функция не является тождественным нулём вдоль данного направления. Однородная функция положительной степени непрерывна в нуле или может быть доопределена до непрерывной в нуле, если в её область определения входит ${\displaystyle \varepsilon }$ -окрестность нуля. Однородная функция нулевой степени может быть как разрывна, так и непрерывна в нуле, и в случае разрывности является константой, зависящей от направления, вдоль каждого луча с вершиной в начале координат, если направление входит в её область определения. (Получается при подстановке в равенство ${\displaystyle (*)}$ значения ${\displaystyle \lambda \to 0.}$ )
16. Если однородная функция ${\displaystyle f}$ в нуле является аналитической (то есть, разлагается в сходящийся ряд Тейлора с ненулевым радиусом сходимости), то она является многочленом ( однородным многочленом ). В частности, в этом случае порядок однородности должен быть натуральным числом или нулём. (Для доказательства достаточно представить функцию в виде ряда Тейлора , сгруппировать вместе члены ряда Тейлора ${\displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$ с одинаковыми порядками однородности ${\displaystyle k_{j}=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}}$ , подставить результат в равенство ${\displaystyle (*)}$ и использовать, что степенные функции ${\displaystyle \lambda ^{k_{1}},\lambda ^{k_{2}},\dots }$ с разными показателями степени, в том числе и нецелочисленными, являются линейно независимыми.)
17. Функция ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})}$ , где ${\displaystyle h(t_{2},t_{3},...,t_{n})}$ — функция ${\displaystyle (n-1)}$ переменных, является однородной функцией с порядком однородности ${\displaystyle q.}$ Функция ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),}$ где ${\displaystyle h(t_{2},t_{3},...,t_{n})}$ — функция ${\displaystyle (n-1)}$ переменных, является абсолютно-однородной функцией с порядком однородности ${\displaystyle q.}$
18. Соотношение Эйлера : для дифференцируемых однородных функций скалярное произведение их градиента на вектор своих переменных пропорционально самой функции с коэффициентом, равным порядку однородности: ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \nabla f(\mathbf {v} )=qf(\mathbf {v} )}$ или, в эквивалентной записи, ${\displaystyle \sum x_{k}f'_{x_{k}}=qf.}$ Получается при дифференцировании равенства ${\displaystyle (*)}$ по ${\displaystyle \lambda }$ при ${\displaystyle \lambda =1.}$
19. Если ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ — дифференцируемая однородная функция c порядком однородности ${\displaystyle q}$ , то её первые частные производные по каждой из независимых переменных ${\displaystyle f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ — это однородные функции c порядком однородности ${\displaystyle q-1}$ .  Для доказательства достаточно продифференцировать по ${\displaystyle x_{k}}$ правую и левую части тождества ${\displaystyle f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{q}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ и получить тождество ${\displaystyle f'_{x_{k}}(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{q-1}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).}$
20. Если ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ — однородная функция c порядком однородности ${\displaystyle q}$ , то её интеграл (при условии существования такого интеграла) по любой независимой переменной начиная от нуля ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}f(t,x_{2},...,x_{n})dt}$ — это однородные функции c порядком однородности ${\displaystyle q+1.}$ Доказательство: ${\displaystyle F(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=}$ ${\displaystyle \int _{0}^{\lambda x_{1}}f(t,\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})dt=}$ ${\displaystyle \lambda \int _{0}^{x_{1}}f(\lambda t',\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})dt'=}$ ${\displaystyle \lambda ^{q+1}\int _{0}^{x_{1}}f(t',x_{2},...,x_{n})dt'=}$ ${\displaystyle \lambda ^{q+1}F(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ (здесь сделана замена переменной интегрирования ${\displaystyle t=\lambda t'}$ ).
21. Если ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ — однородная функция c порядком однородности ${\displaystyle q}$ , то её дробная производная ( дифферинтеграл ) порядка ${\displaystyle \alpha }$ , вычисляемая как ${\displaystyle G(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha )}}{\frac {d^{n}}{dx_{1}^{n}}}\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,x_{2},...,x_{n})\,dt}$ по любой независимой переменной начиная от нуля (при условии существования соответствующего интеграла, для чего требуется выбирать ${\displaystyle n>\alpha }$ ) — это однородные функции c порядком однородности ${\displaystyle q-\alpha .}$ Рассмотрим функцию ${\displaystyle H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,x_{2},...,x_{n})\,dt}$ . Тогда ${\displaystyle H(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=}$ ${\displaystyle \int _{0}^{\lambda x_{1}}(\lambda x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})\,dt=}$ ${\displaystyle \lambda \int _{0}^{x_{1}}(\lambda x_{1}-\lambda t')^{n-\alpha -1}f(\lambda t',\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})\,dt'=}$ ${\displaystyle \lambda ^{q+n-\alpha }\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t')^{n-\alpha -1}f(t',x_{2},...,x_{n})dt'=}$ ${\displaystyle \lambda ^{q+n-\alpha }H(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ (здесь сделана замена переменной интегрирования ${\displaystyle t=\lambda t'}$ ). После ${\displaystyle n}$ -кратного дифференцирования по переменной ${\displaystyle x_{1}}$ однородная функция ${\displaystyle H(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ порядка ${\displaystyle q+n-\alpha }$ становится однородной функцией c порядком однородности ${\displaystyle q-\alpha }$ .
22. Если ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ — однородная функция c порядком однородности ${\displaystyle q}$ , то её ${\displaystyle n}$ -мерная свёртка с обобщённым Абелевым ядром, вычисляемая как ${\displaystyle H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}}\dots (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f(t_{1},...,t_{n})\,dt_{1}\dots dt_{n}}$ (при условии существования соответствующего интеграла) — это однородная функция c порядком однородности ${\displaystyle q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}}$ . Доказательство: ${\displaystyle H(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=}$ ${\displaystyle \int _{0}^{\lambda x_{1}}\dots \int _{0}^{\lambda x_{n}}(\lambda ^{k_{1}}x_{1}^{k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}}\dots (\lambda ^{k_{n}}x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f(t_{1},...,t_{n})\,dt_{1}\dots dt_{n}=}$ ${\displaystyle \lambda ^{n}\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{n}}(\lambda ^{k_{1}}x_{1}^{k_{1}}-\lambda ^{k_{1}}t_{1}'^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}}\dots (\lambda ^{k_{n}}x_{n}^{k_{n}}-\lambda ^{k_{n}}t_{n}'^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f(\lambda t_{1}',...,\lambda t_{n}')\,dt_{1}'\dots dt_{n}'=}$ ${\displaystyle \lambda ^{q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}}\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}'^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}}\dots (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}'^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f(t_{1}',...,t_{n}')\,dt_{1}'\dots dt_{n}'=}$ ${\displaystyle \lambda ^{q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}}H(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ , где сделана замена переменных интегрирования ${\displaystyle t_{k}=\lambda t_{k}'}$ . (Примечание: возможно выполнение свёртки только по части переменных.)

Теорема . Любая однородная функция с порядком однородности ${\displaystyle q}$ может быть представлена в форме

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),}$

где ${\displaystyle h(t_{2},t_{3},...,t_{n})}$ — некоторая функция ${\displaystyle (n-1)}$ переменных. Любая абсолютно-однородная функция с порядком однородности ${\displaystyle q}$ может быть представлена как

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),}$

где ${\displaystyle h(t_{2},t_{3},...,t_{n})}$ — некоторая функция ${\displaystyle (n-1)}$ переменных.

Следствие. Любая однородная функция степени ${\displaystyle q}$ (абсолютно-однородная функция степени ${\displaystyle q}$ ) может быть представлена в форме

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})\cdot h(\phi _{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),\phi _{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),...,\phi _{n-1}(x_{1},x_{2},...,x_{n})),}$

где ${\displaystyle h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})}$ — некоторая подходящая функция ${\displaystyle (n-1)}$ переменных, ${\displaystyle \phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ — фиксированная однородная функция степени ${\displaystyle q}$ (фиксированная абсолютно-однородная функция степени ${\displaystyle q}$ ), а ${\displaystyle \phi _{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),}$ ${\displaystyle \phi _{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n}))}$ , ..., ${\displaystyle \phi _{n-1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}))}$ — фиксированные функционально-независимые однородные функции нулевой степени. При фиксированном выборе функций ${\displaystyle \phi ,\phi _{1},\phi _{2},...,\phi _{n-1}}$ это представление задаёт взаимно-однозначное соответствие между однородными функциями ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ степени ${\displaystyle q}$ от ${\displaystyle n}$ переменных и функциями ${\displaystyle h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})}$ от ${\displaystyle (n-1)}$ переменных.

Теорема Эйлера для однородных функций . Для того, чтобы дифференцируемая функция ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ была однородной функцией с порядком однородности ${\displaystyle q,}$ необходимо и достаточно выполнение соотношения Эйлера

${\displaystyle \sum x_{k}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=qf(x_{1},x_{2},...,x_{n}).}$

Следствие. Если функция дифференцируема и в каждой точке пространства соотношение однородности ${\displaystyle (*)}$ справедливо в некотором интервале значений ${\displaystyle \lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right]\subset \left[0,\infty \right),}$ то оно справедливо для всех ${\displaystyle \lambda >0.}$

Лямбда-однородные функции

Пусть задан вектор ${\displaystyle \mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}).}$ Функция ${\displaystyle n}$ переменных ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ называется ${\displaystyle \lambda }$ -однородной c порядком однородности ${\displaystyle q}$ , если при любых ${\displaystyle t>0}$ и любых ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}}$ справедливо тождество

${\displaystyle f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_{n})=t^{q}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).}$

При ${\displaystyle \lambda _{k}=1}$ ${\displaystyle \lambda }$ -однородные функции переходят в обычные однородные функции. Иногда вместо порядка однородности ${\displaystyle q}$ вводят степень однородности ${\displaystyle m}$ ,  определяемую из соотношения

${\displaystyle f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_{n})=t^{m{\frac {|\mathbf {\lambda } |}{n}}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),}$

где ${\displaystyle |\mathbf {\lambda } |=\sum |\lambda _{k}|.}$ Для обычных однородных функций порядок однородности ${\displaystyle q}$ и степень однородности ${\displaystyle m}$ совпадают.

Если частные производные ${\displaystyle f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ непрерывны в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , то для ${\displaystyle \lambda }$ -однородных функций справедливо соотношение, обобщающее соотношение Эйлера и получающееся при дифференцировании тождества для ${\displaystyle \lambda }$ -однородности в точке ${\displaystyle t=1}$ :

${\displaystyle \sum \lambda _{x}x_{k}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=qf(x_{1},x_{2},...,x_{n}).}$

Как и в случае обычных однородных функций, это соотношение является необходимым и достаточным, чтобы функция ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ была ${\displaystyle \lambda }$ -однородной функцией с вектором ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})}$ и порядком однородности ${\displaystyle q.}$ Для доказательства достаточности надо рассмотреть функцию ${\displaystyle \varphi (t)=t^{-q}f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_{n})}$ и убедиться, что при выполнении указанного дифференциального соотношения её производная равна нулю, то есть что эта функция константа и что ${\displaystyle \varphi (t)\equiv \varphi (1).}$

Если ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ — ${\displaystyle \lambda }$ -однородная функция с вектором ${\displaystyle \mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})}$ и порядком однородности ${\displaystyle q}$ ,  то она же является ${\displaystyle \lambda }$ -однородной функцией с вектором ${\displaystyle \mathbf {\lambda } =(\alpha \lambda _{1},\alpha \lambda _{2},...,\alpha \lambda _{n})}$ и порядком однородности ${\displaystyle \alpha q}$ (следует из подстановки в тождество для ${\displaystyle \lambda }$ -однородности нового параметра ${\displaystyle t'\to t^{\alpha }}$ ). В силу этого при рассмотрении ${\displaystyle \lambda }$ -однородных функций достаточно ограничиваться случаем ${\displaystyle \sum |\lambda _{k}|=const.}$ В частности, нормировка ${\displaystyle \sum |\lambda _{k}|}$ может выбираться таким образом, чтобы порядок однородности ${\displaystyle q}$ был равен заранее фиксированному значению. Кроме того, без ограничения общности можно считать, что ${\displaystyle \lambda _{k}\neq 0.}$

При замене переменных ${\displaystyle x_{k}=y_{k}^{\lambda _{k}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ -однородная функция ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ с вектором ${\displaystyle \mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})}$ и порядком однородности ${\displaystyle q}$ переходит в обычную однородную функцию ${\displaystyle g(y_{1},y_{2},...,y_{n})}$ с порядком однородности ${\displaystyle q}$ .  Отсюда следует, что общее представление для ${\displaystyle \lambda }$ -однородных функций с вектором ${\displaystyle \mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})}$ и порядком однородности ${\displaystyle q}$ имеет вид:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q/\lambda _{1}}\cdot h(x_{2}^{1/\lambda _{2}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}},x_{3}^{1/\lambda _{3}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}},\ldots ,x_{n}^{1/\lambda _{n}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}}),}$

где ${\displaystyle h(t_{2},t_{3},...,t_{n})}$ — некоторая функция ${\displaystyle (n-1)}$ переменных.

Источник: Я. С. Бугров, С. М. Никольский, Высшая математика: учебник для вузов (в 3 т.), Т.2: Дифференциальное и интегральное исчисление ( от 1 октября 2012 на Wayback Machine ), раздел 8.8.4.

Оператор Эйлера

Дифференциальный оператор

${\displaystyle x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\ldots +x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}}$

иногда называют оператором Эйлера, по аналогии с тождеством Эйлера для однородных функций. Из теоремы Эйлера для однородных функций, приведённой выше, следует, что собственными функциями этого оператора являются однородные функции и только они, причём собственным значением для такой функции является её порядок однородности.

Соответственно, функциями, обращающими оператор Эйлера в константу, являются логарифмы однородных функций и только они. Функциями, обращающими оператор Эйлера в ноль, являются однородные функции нулевого порядка и только они ( логарифм однородной функции нулевого порядка сам является однородной функцией нулевого порядка).

Аналогичным образом для дифференциального оператора

${\displaystyle \lambda _{1}x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+\lambda _{2}x_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}}$

собственными функциями являются ${\displaystyle \lambda }$ -однородные функции с вектором ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})}$ и только они, причём собственным значением является порядок однородности ${\displaystyle \lambda }$ -однородной функции. В константу же этот дифференциальный оператор обращают логарифмы ${\displaystyle \lambda }$ -однородных функций с вектором ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})}$ , и никакие другие функции.

Дальнейшим обобщением оператора Эйлера служит дифференциальный оператор

${\displaystyle \lambda _{1}x_{1}^{\mu _{1}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+\lambda _{2}x_{2}^{\mu _{2}}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}^{\mu _{n}}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}},}$

который сводится к оператору Эйлера ${\displaystyle y_{1}{\frac {\partial f}{\partial y_{1}}}+y_{2}{\frac {\partial f}{\partial y_{2}}}+\ldots +y_{n}{\frac {\partial f}{\partial y_{n}}}}$ заменой ${\displaystyle y_{k}=\exp \left({\frac {x^{1-\mu _{k}}}{\lambda _{k}\left(1-\mu _{k}\right)}}\right)}$ при ${\displaystyle \mu _{k}\neq 1;}$ ${\displaystyle y_{k}=x^{1/\lambda _{k}}}$ при ${\displaystyle \mu _{k}=1.}$ Также к оператору Эйлера с помощью замены ${\displaystyle y_{k}=\exp \left(\int _{a_{k}}^{x}{\frac {dt}{h_{k}(t)}}\right)}$ сводятся все дифференциальные операторы вида ${\displaystyle h_{1}(x_{1}){\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+h_{2}(x_{2}){\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\ldots +h_{n}(x_{n}){\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}.}$

Источник: от 2 августа 2012 на Wayback Machine ( PlanetMath.org )

Ограниченно однородные функции

Функция ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ называется ограниченно однородной с показателем однородности ${\displaystyle q}$ относительно множества положительных вещественных чисел ${\displaystyle \Lambda }$ (называемого множеством однородности), если для всех ${\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ и для всех ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$ справедливо тождество

${\displaystyle f(\lambda {\vec {x}})=\lambda ^{q}f({\vec {x}}).}$

Множество однородности ${\displaystyle \Lambda }$ всегда содержит в себе единицу. Множество однородности ${\displaystyle \Lambda }$ не может включать в себя сколь угодно малый непрерывный отрезок ${\displaystyle \lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right]}$ — в противном случае ограниченно однородная функция оказывается обычной однородной функцией (см. далее раздел «Некоторые функциональные уравнения, связанные с однородными функциями»). Поэтому интерес представляют те ограниченно однородные функции, у которых ${\displaystyle \Lambda \neq \{1\}}$ и у которых множество однородности ${\displaystyle \Lambda }$ сугубо дискретно.

Пример 1. Функция ${\displaystyle f(x)=x^{q}\sin(\log |x|)}$ является ограниченно однородной с показателем однородности ${\displaystyle q}$ относительно множества ${\displaystyle \Lambda =\{e^{2\pi m}\},}$ где ${\displaystyle m}$ — целые числа.

Пример 2. Функция ${\displaystyle f(x,y,z)=(x^{2}+2y^{2}+3z^{2})^{q/2}\cos(\log {\sqrt {x^{2}-xy+y^{2}}})}$ является ограниченно однородной с показателем однородности ${\displaystyle q}$ относительно множества ${\displaystyle \Lambda =\{e^{2\pi k}\},}$ где ${\displaystyle k}$ — целые числа.

Теорема. Чтобы функция ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),}$ определённая при ${\displaystyle x_{1}>0,}$ была ограниченно однородной с порядком однородности ${\displaystyle q,}$ необходимо и достаточно, чтобы она имела вид

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(\log x_{1},x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),}$

где ${\displaystyle H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n})}$ — функция, периодическая по переменной ${\displaystyle y}$ с по крайней мере одним периодом, не зависящим от ${\displaystyle t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}.}$ В таком случае множество однородности ${\displaystyle \Lambda }$ состоит из чисел ${\displaystyle \{e^{Y_{k}}\},}$ где ${\displaystyle Y_{k}}$ — периоды функции ${\displaystyle H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),}$ не зависящие от ${\displaystyle t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}.}$

Доказательство. Достаточность проверяется непосредственно, надо доказать необходимость. Сделаем замену переменных

${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}\to x_{1},t_{2},...,t_{n},}$ где ${\displaystyle t_{k}=x_{k}/x_{1},}$

так что ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n}).}$ Если теперь рассмотреть функцию ${\displaystyle h(x_{1},t_{2},...,t_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n})/x_{1}^{q},}$ то из условия однородности получаем для всех допустимых ${\displaystyle x_{1}}$ равенство

${\displaystyle h(\lambda x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{1},t_{2},t_{3},...,t_{n}),}$

которое будет справедливым, когда ${\displaystyle \lambda \in \Lambda .}$ Если только множество ${\displaystyle \Lambda }$ не состоит из одной лишь единицы, то после замены ${\displaystyle x_{1}=\exp(y)}$ функция

${\displaystyle H(y,t_{2},...,t_{n})=H(\log x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{1},t_{2},...,t_{n})}$

оказывается периодической по переменной ${\displaystyle y}$ с ненулевым периодом ${\displaystyle \log \lambda }$ для любого выбранного фиксированным образом ${\displaystyle \lambda \in \Lambda ,}$ поскольку из приведённого выше равенства следует соотношение

${\displaystyle H(\log x_{1}+\log \lambda ,t_{2},...,t_{n})=H(\log x_{1},t_{2},...,t_{n}).}$

Очевидно, что выбранное фиксированное значение ${\displaystyle \log \lambda }$ будет периодом функции ${\displaystyle H(y,t_{2},...,t_{n})}$ сразу при всех ${\displaystyle t_{2},...,t_{n}.}$

Следствия:

1. Если имеется наименьший положительный период ${\displaystyle Y>0,}$ не зависящий от ${\displaystyle t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n},}$ то множество однородности ${\displaystyle \Lambda }$ имеет вид ${\displaystyle \{e^{mY}\},}$ где ${\displaystyle m=0,\pm 1,\pm 2,\dots }$ — произвольные целые числа. (Если ${\displaystyle Y}$ — наименьший положительный период функции ${\displaystyle H(y,...),}$ то и все ${\displaystyle Y_{m}=mY}$ — её периоды, поэтому числа ${\displaystyle \{e^{mY}\}}$ будут входить в множество однородности. Если же найдётся такое значение однородности ${\displaystyle \lambda _{*}=e^{Y_{*}},}$ что ${\displaystyle e^{mY}<e^{Y_{*}}<e^{(m+1)Y},}$ то ${\displaystyle Y_{*}-mY}$ окажется положительным периодом, не зависящим от ${\displaystyle t_{2},...,t_{n},}$ который будет меньше, чем ${\displaystyle Y.}$ )
2. Если функция ${\displaystyle H(y,\ldots )}$ — это константа по переменной ${\displaystyle y,}$ то у неё нет наименьшего положительного периода (любое положительное число является её периодом). В этом случае ${\displaystyle H(y,\ldots )}$ не зависит от переменной ${\displaystyle y,}$ и функция
   ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1})}$
   — это обычная положительно однородная функция (по меньшей мере). Множество однородности ${\displaystyle \Lambda }$ в этом случае — вся положительная полуось ${\displaystyle \lambda >0}$ (по меньшей мере).
3. Возможны экзотические случаи, когда у периодической функции ${\displaystyle H(y,...)}$ не имеется наименьшего положительного периода, но при этом она и не является константой. Например, у функции Дирихле , равной 1 в рациональных точках и равной 0 в иррациональных точках, периодом является любое рациональное число. В таком случае множество однородности ${\displaystyle \Lambda }$ может иметь достаточно сложную структуру. Однако если при каждом наборе значений ${\displaystyle t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}}$ у периодической функции ${\displaystyle H(y,...)}$ есть предел по переменной ${\displaystyle y}$ хотя бы в одной точке, эта функция либо имеет наименьший положительный период (а все остальные периоды — кратные наименьшего положительного периода), либо является константой по переменной ${\displaystyle y.}$
4. Ограниченно однородные функции, определённые при ${\displaystyle x<0,}$ имеют вид
   ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(-x_{1})^{q}\cdot H(\log(-x_{1}),x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1})}$
   с надлежащим образом выбранной функцией ${\displaystyle H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),}$ периодической по переменной ${\displaystyle y.}$
5. Ограниченно однородные функции, определённые на всей числовой оси за вычетом точки ${\displaystyle x=0,}$ имеют вид
   ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x_{1}|^{q}\cdot H_{\pm }(\log |x_{1}|,x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),}$
   с надлежащим образом выбранной функцией ${\displaystyle H_{\pm }(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),}$ периодической по переменной ${\displaystyle y}$ (где обозначение ${\displaystyle H_{\pm }(\ldots )}$ подчёркивает, что для интервала значений ${\displaystyle x_{1}>0}$ и для интервала значений ${\displaystyle x_{1}<0}$ выбираются, вообще говоря, разные периодические функции ${\displaystyle H(y)}$ , каждая с областью определения ${\displaystyle y\in (-\infty ,+\infty )}$ , но обязательно имеющие при этом один и тот же период).
6. Формула ${\displaystyle f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(\log |x_{1}|,x_{2}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),}$ является универсальной, но не отражает равноправность всех переменных. Можно представить функцию ${\displaystyle H(y,t_{2},\dots ,t_{n}\ldots )}$ как ${\displaystyle G\left(w\cdot y+\log W(t_{2},\dots ,t_{n}),t_{2},\dots ,t_{n}\right),}$ где период функции ${\displaystyle G\left(t,t_{2},\dots ,t_{n}\right)}$ равен ${\displaystyle 2\pi ,}$ нормировочный множитель ${\displaystyle w}$ не зависит от ${\displaystyle t_{2},\dots ,t_{n},}$ а функция ${\displaystyle W(t_{2},\dots ,t_{n})}$ выбрана фиксированной. При такой записи ограниченно однородные функции приобретают вид
   ${\displaystyle f(x_{1},...,x_{n})=F(\log Q(x_{1},\ldots ,x_{n}),x_{1},\ldots ,x_{n}),}$
   где ${\displaystyle F(y,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ — однородная функция с показателем однородности ${\displaystyle q}$ по переменным ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ и периодическая с периодом ${\displaystyle 2\pi }$ по переменной ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle Q(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$ — фиксированная однородная функция с показателем однородности ${\displaystyle w}$ по переменным ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},}$ а множество однородности имеет вид ${\displaystyle \Lambda =\{e^{2\pi m/w}\},}$ где ${\displaystyle m=0,\pm 1,\pm 2,\dots }$ — произвольные целые числа.
7. Разлагая периодическую функцию ${\displaystyle F(y,x_{1},\ldots ,x_{n})}$ из предыдущего пункта в ряд Фурье, можно получить выражение
   ${\displaystyle A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})+\sum A_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})\cos k\log Q(x_{1},\ldots ,x_{n})+B_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})\sin k\log Q(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$
   где ${\displaystyle A_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ и ${\displaystyle B_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ — произвольные однородные функции с показателем однородности ${\displaystyle q,}$ ${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ — произвольным образом фиксированная однородная функция с показателем однородности ${\displaystyle w,}$ а множество однородности ${\displaystyle \Lambda =\{e^{mY}\},}$ записано как ${\displaystyle \Lambda =\{e^{2\pi m/w}\},}$ где ${\displaystyle m}$ — целые числа. Эта формула является самым общим способом записи для кусочно-непрерывных ограниченно однородных функций с порядком однородности ${\displaystyle q}$ и множеством однородности ${\displaystyle \Lambda =\{e^{2\pi m/w}\}.}$ В частности, замена фиксированной функции ${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ на набор произвольных однородных функций ${\displaystyle Q_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ не прибавит данной формуле общности, но лишь разнообразит форму представления для одной и той же ограниченно однородной функции.

Библиография: Konrad Schlude, Bemerkung zu beschränkt homogenen Funktionen . — Elemente der Mathematik 54 (1999).

Источник информации: от 23 августа 2012 на Wayback Machine ( PlanetMath.org ).

Присоединённые однородные функции

[раздел пока не написан]

Источник: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

Взаимно однородные функции

[раздел пока не написан]

Источник: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

Некоторые функциональные уравнения, связанные с однородными функциями

1. Пусть

${\displaystyle f\left(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n}\right)=C\left(\lambda \right)f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$

при некоторой функции ${\displaystyle C\left(\lambda \right)}$ на интервале ${\displaystyle \lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right].}$ Какова должна быть функция ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)?}$

Решение. Продифференцируем обе стороны этого соотношения по ${\displaystyle \lambda .}$ Получим

${\displaystyle x_{1}{\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{1})}}+x_{2}{\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{2})}}+\dots +x_{n}{\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{n})}}={\frac {\partial C\left(\lambda \right)}{\partial \lambda }}f(x_{1},\dots ,x_{n}).}$

Продифференцируем обе стороны этого же соотношения по ${\displaystyle x_{k},}$ получим соотношения

${\displaystyle \lambda {\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{k})}}=C\left(\lambda \right){\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_{k}}}.}$

Отсюда

${\displaystyle {\frac {1}{f(x_{1},\dots ,x_{n})}}\left(x_{1}{\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_{1}}}+\dots +x_{n}{\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_{n}}}\right)={\frac {\lambda }{C\left(\lambda \right)}}{\frac {\partial C\left(\lambda \right)}{\partial \lambda }}.}$

Правая часть зависит только от ${\displaystyle \lambda ,}$ левая часть зависит только от ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ Значит, они обе равны одной и той же константе, которую обозначим через ${\displaystyle q.}$ Из условия ${\displaystyle {\frac {\lambda }{C\left(\lambda \right)}}{\frac {\partial C\left(\lambda \right)}{\partial \lambda }}=q}$ и условия ${\displaystyle C\left(1\right)=1}$ следует, что ${\displaystyle C\left(\lambda \right)=\lambda ^{q}.}$ Следовательно, ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$ — однородная функция с параметром однородности ${\displaystyle q.}$ Вырожденные случаи ${\displaystyle C\left(\lambda \right)\equiv 0}$ и ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)\equiv 0}$ рассматриваются отдельно и интереса не представляют.

Примечание. Не обязательно использовать условие ${\displaystyle C\left(1\right)=1,}$ вообще говоря, изначально не заданное, а также принудительно рассматривать функцию ${\displaystyle C\left(\lambda \right)}$ за пределами интервала ${\displaystyle \lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right].}$ . Из равенства

${\displaystyle {\frac {1}{f}}\left(x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\dots +x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)=q}$

согласно теореме Эйлера об однородных функциях также следует, что ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$ — однородная функция с параметром однородности ${\displaystyle q.}$ Отсюда, в частности, следует, что если соотношение однородности справедливо для некоторого интервала ${\displaystyle \lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right],}$ то оно справедливо при всех ${\displaystyle \lambda >0.}$

2. Пусть

${\displaystyle f\left(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n}\right)=Cf\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$

при некоторых фиксированных значениях ${\displaystyle C\neq 0,}$ ${\displaystyle \lambda \neq 1}$ и произвольных ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.}$ Какова должна быть функция ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)?}$

Решение. Если ${\displaystyle x_{1}=0,}$ то задача сводится к функциональному уравнению меньшей размерности

${\displaystyle f\left(0,\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n}\right)=Cf\left(0,x_{2},\dots ,x_{n}\right),}$

пока не сведётся к случаю ${\displaystyle f\left(0,0,\dots ,0\right)=Cf\left(0,0,\dots ,0\right)}$ с очевидным ответом ${\displaystyle f\left(0,0,\dots ,0\right)=0.}$ Поэтому далее можно рассматривать только случай ${\displaystyle x_{1}\neq 0.}$

Сделаем замену переменных ${\displaystyle x_{1}=y,}$ ${\displaystyle x_{2}=t_{2}\cdot y,}$ ${\displaystyle x_{3}=t_{3}\cdot y,}$ ${\displaystyle x_{n}=t_{n}\cdot y.}$ Тогда ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\to F(y,t_{2},\dots ,t_{n})}$ и функциональное уравнение принимает вид

${\displaystyle F\left(\lambda y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=CF\left(y,t_{2},\dots ,t_{n}\right).}$

Следует отдельно рассматривать случаи ${\displaystyle C>0}$ и ${\displaystyle C<0,}$ ${\displaystyle \lambda >0}$ и ${\displaystyle \lambda <0,}$ ${\displaystyle y>0}$ и ${\displaystyle y<0.}$ Пусть ${\displaystyle C>0,}$ ${\displaystyle \lambda >0}$ и ${\displaystyle y>0.}$ Тогда после логарифмирования обеих частей равенства и замены ${\displaystyle \log y\to t,}$ ${\displaystyle \log F(y,\dots )\to \Phi (t,\dots )}$ получаем условие

${\displaystyle \Phi \left(t+\log \lambda ,\dots \right)=\log C+\Phi \left(t,\dots \right),}$

откуда следует, что ${\displaystyle \Phi \left(t,\dots \right)}$ имеет вид ${\displaystyle \Omega \left(t,\dots \right)+{\frac {\log C}{\log \lambda }}t,}$ где ${\displaystyle \Omega \left(t,\dots \right)}$ — функция, периодическая по переменной ${\displaystyle t}$ с периодом ${\displaystyle \log \lambda .}$ Обратное очевидно: функция

${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega \left(\log x_{1},{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log x_{1}}{\log \lambda }}\right),}$

где ${\displaystyle \Omega \left(t,\dots \right)}$ — функция, периодическая по переменной ${\displaystyle t}$ с периодом ${\displaystyle \log \lambda ,}$ удовлетворяет требуемому функциональному соотношению для ${\displaystyle x_{1}>0.}$

Для полуоси ${\displaystyle x_{1}<0}$ используется замена ${\displaystyle \log(-y)\to t}$ и после аналогичных рассуждений получаем окончательный ответ:

а) если ${\displaystyle x_{1}>0}$ то ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{+}\left(\log(+x_{1}),x_{2}/x_{1},\dots x_{n}/x_{1}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log(+x_{1})}{\log \lambda }}\right),}$

б) если ${\displaystyle x_{1}<0}$ то ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{-}\left(\log(-x_{1}),x_{2}/x_{1},\dots x_{n}/x_{1}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log(-x_{1})}{\log \lambda }}\right),}$

или, в сокращённой форме

${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log |x_{1}|}{\log \lambda }}\right),}$

где обозначение ${\displaystyle \Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,\dots \right)}$ подчёркивает, что при ${\displaystyle x_{1}>0}$ и при ${\displaystyle x_{1}<0}$ это, вообще говоря, две разные периодические функции ${\displaystyle \Omega _{+}\left(t,\dots \right)}$ и ${\displaystyle \Omega _{-}\left(t,\dots \right)}$ , каждая с областью определения ${\displaystyle t\in (-\infty ,+\infty )}$ и разными значениями для этой области, но при этом с одинаковым периодом.

Случай ${\displaystyle C<0,}$ ${\displaystyle \lambda >0}$ упрощается тем, что из цепочки соотношений

${\displaystyle F\left(\lambda ^{2}y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=CF\left(\lambda y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=C^{2}F\left(y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)}$

следует уже рассмотренный нами случай. Поэтому функция ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$ может быть записана как

${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}|}{\log \lambda }}\right),}$

где ${\displaystyle \Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)}$ — некоторая функция, периодическая по переменной ${\displaystyle t}$ с периодом ${\displaystyle 2\log \lambda .}$ Подстановка этого выражения в исходное уравнение показывает, что ${\displaystyle \Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)}$ — не просто периодическая функция с периодом ${\displaystyle 2\log \lambda ,}$ но анти-периодическая с периодом ${\displaystyle \log \lambda :}$

${\displaystyle \Omega _{\pm }\left(t+\log \lambda ,\dots \right)=-\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)}$

(очевидным образом анти-периодичность с периодом ${\displaystyle \log \lambda }$ влечёт за собой периодичность с периодом ${\displaystyle 2\log \lambda }$ ). Обратное очевидно: указанная формула с анти-периодической функцией ${\displaystyle \Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)}$ удовлетворяет требуемому функциональному уравнению.

Случай ${\displaystyle \lambda <0}$ имеет дополнительную особенность, что полуоси ${\displaystyle y<0}$ и ${\displaystyle y>0}$ влияют друг на друга. Рассмотрим случай ${\displaystyle y>0.}$ Тогда из цепочки соотношений

${\displaystyle F\left(\lambda ^{2}y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=CF\left(\lambda y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=C^{2}F\left(y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)}$

следует, что при ${\displaystyle x_{1}>0}$ функция ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$ должна иметь вид

${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega \left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}|}{\log |\lambda |}}\right),}$

где ${\displaystyle \Omega \left(t,\dots \right)}$ — функция, периодическая по переменной ${\displaystyle t}$ с периодом ${\displaystyle 2\log |\lambda |}$ и областью определения ${\displaystyle t\in (-\infty ,+\infty ).}$ Поскольку ${\displaystyle \lambda <0,}$ то каждой положительной точке ${\displaystyle x_{1}>0}$ взаимно-однозначно соответствует отрицательная точка ${\displaystyle \lambda x_{1}<0}$ со значением функции, равным ${\displaystyle Cf\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right).}$ . В результате с учётом периодичности функции ${\displaystyle \Omega \left(t,\dots \right)}$ функция ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$ вычисляется как

а) при ${\displaystyle x_{1}>0:}$ ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Omega \left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}|}{\log |\lambda |}}\right),}$

б) при ${\displaystyle x_{1}<0:}$ ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=sign(C)\cdot \Omega \left(\log |x_{1}|+\log |\lambda |,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}|}{\log |\lambda |}}\right),}$

где ${\displaystyle \Omega \left(t,\dots \right)}$ — функция, периодическая по переменной ${\displaystyle t}$ с периодом ${\displaystyle 2\log |\lambda |.}$ Как легко проверить, определённая подобным образом функция ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ для случая ${\displaystyle \lambda <0}$ действительно удовлетворяет нужному функциональному уравнению как при ${\displaystyle x_{1}>0,}$ так и при ${\displaystyle x_{1}<0.}$

Примечание. Если некоторая функция удовлетворяет указанному функциональному уравнению при некоторых ${\displaystyle C_{0},\lambda _{0},}$ то легко заметить, что она удовлетворяет этому же функциональному уравнению и при других наборах значений ${\displaystyle \left(C,\lambda \right).}$ Так, для случая ${\displaystyle C_{0}>0,\lambda _{0}>0}$ множеством таких пар будут ${\displaystyle \lambda _{k}=\lambda _{0}^{k/m},}$ ${\displaystyle C_{k}=C_{0}^{k/m}}$ при любых ненулевых целочисленных значениях ${\displaystyle k=\pm 1,\pm 2,\dots ,}$ где целое число ${\displaystyle m}$ выбрано так, чтобы величина ${\displaystyle |\log \lambda _{0}|/m}$ была наименьшим положительным периодом для функции ${\displaystyle \Omega _{\pm }\left(t,\dots \right).}$ Введя обозначение ${\displaystyle q=\log C_{0}/\log \lambda _{0}}$ так что ${\displaystyle C_{0}=\lambda _{0}^{q},}$ получим условие ${\displaystyle C_{k}\equiv \left(\lambda _{k}\right)^{q},}$ соответствующее ограниченно однородным функциям. Замена ${\displaystyle \exp \left({\frac {\log C\cdot \log x_{1}}{\log \lambda }}\right)\to x_{1}^{q}}$ приводит представление ограниченно однородных функций к привычному виду.

3. Дополнительные функциональные уравнения имеются в разделах «Присоединённые однородные функции» и «Взаимно однородные функции» этой статьи.

Однородные обобщённые функции

Обобщённые функции или распределения определяются как линейные непрерывные функционалы, заданные на пространстве «достаточно хороших» функций. В случае однородных обобщённых функций в качестве «достаточно хороших» функций удобно использовать пространство ${\displaystyle \mathbb {S} }$ функций ${\displaystyle \varphi (x)=\varphi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$ имеющих производные любого порядка и при ${\displaystyle \left|x\right|\to \infty }$ убывающих быстрее любой степени ${\displaystyle {\frac {1}{\left|x\right|}}.}$ При этом любой обычной функции ${\displaystyle f(x)}$ ,  интегрируемой в любой конечной области, ставится в соответствие функционал

${\displaystyle T_{f}\left[\varphi \right]=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\varphi (x)dx,}$

определённый в пространстве ${\displaystyle \varphi \in \mathbb {S} }$ и являющийся очевидным образом линейным и непрерывным. Обобщённые функции позволяют упростить рассмотрение многих вопросов анализа (так, всякая обобщённая функция имеет производные любого порядка, допускает преобразование Фурье и т. д.), а также узаконить такие экзотические объекты, как ${\displaystyle \delta }$ -функция и её производные.

Для обычных интегрируемых функций ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n}),}$ являющихся однородными с показателем однородности ${\displaystyle q,}$ справедливо легко проверяемое тождество

${\displaystyle T_{f}\left[\varphi \left({\frac {x_{1}}{\lambda }},{\frac {x_{2}}{\lambda }},\dots ,{\frac {x_{n}}{\lambda }}\right)\right]=\lambda ^{q+n}T_{f}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)\right].\qquad \qquad \qquad (**)}$

Данное тождество принимается за определение обобщённой однородной функции: однородная обобщённая функция с показателем однородности ${\displaystyle q}$ (вообще говоря, комплексным) есть линейный непрерывный функционал, определённый в пространстве ${\displaystyle \varphi \in \mathbb {S} }$ и удовлетворяющий тождеству (**).

Похожим способом определяются присоединённые однородные обобщённые функции. Присоединённая однородная обобщённая функция ${\displaystyle T_{k}\left[\varphi \right]}$ порядка ${\displaystyle k}$ с показателем однородности ${\displaystyle q}$ — это линейный непрерывный функционал, для всякого ${\displaystyle \lambda >0}$ удовлетворяющий соотношению

${\displaystyle T_{k}\left[\varphi \left({\frac {x_{1}}{\lambda }},{\frac {x_{2}}{\lambda }},\dots ,{\frac {x_{n}}{\lambda }}\right)\right]=\lambda ^{q+n}T_{k}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)\right]+\lambda ^{q+n}\log \lambda \cdot T_{k-1}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)\right],}$

где ${\displaystyle T_{k-1}\left[\varphi \right]}$ — это некоторая присоединённая однородная обобщённая функция ${\displaystyle (k-1)}$ —го порядка с показателем однородности ${\displaystyle q.}$ Присоединённая однородная обобщённая функция нулевого порядка  с показателем однородности ${\displaystyle q}$ — это обычная однородная обобщённая функция с показателем однородности ${\displaystyle q.}$

Пример. Обобщённая функция ${\displaystyle \delta (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ — однородная обобщённая функция с показателем однородности ${\displaystyle (-n)}$ поскольку ${\displaystyle \delta [\varphi ({x_{1}}/\lambda ,{x_{2}}/\lambda ,\dots ,{x_{n}}/\lambda )]=\varphi (0,0,\dots ,0)=\delta [\varphi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})].}$

Исследование однородных обобщённых функций позволяет придать содержательный смысл интегралам с сингулярными особенностями, в обычном смысле не интегрируемыми. Например, рассмотрим обобщённую функцию ${\displaystyle T_{q}^{+}\left[\varphi \right]=\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx.}$ Этот функционал определён при ${\displaystyle Re(q)>-1}$ и, как легко проверить, является однородной обобщённой функцией с показателем однородности ${\displaystyle q.}$ Величину ${\displaystyle T_{q}^{+}}$ при фиксированном выборе пробной функции ${\displaystyle \varphi \left(x\right)}$ можно рассматривать как функцию комплексного переменного ${\displaystyle q}$ и, вообще говоря, аналитически продолжить её вне данного диапазона. А именно, правая и левая части равенства

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx=\int _{1}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx+\int _{0}^{1}x^{q}\left(\varphi (x)-\sum _{k=0,n}x^{k}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!}}\right)dx+\sum _{k=0,n}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!(q+k+1)}},}$

аналитичны по переменной ${\displaystyle q}$ и тождественно равны друг другу при ${\displaystyle Re(q)>-1.}$ Однако правая часть равенства имеет смысл и аналитична также и при ${\displaystyle Re(q)>-n.}$ В силу этого правая часть равенства — это аналитическое продолжение левой части равенства для ${\displaystyle Re(q)>-n.}$ Как результат, равенство

${\displaystyle T_{q}^{+}[\varphi (x)]=\int _{1}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx+\int _{0}^{1}x^{q}\left(\varphi (x)-\sum _{k=0,n}x^{k}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!}}\right)dx+\sum _{k=0,n}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!(q+k+1)}},}$

задаёт линейный непрерывный функционал, являющийся расширением определённого ранее функционала ${\displaystyle T_{q}^{+}}$ вплоть до значений ${\displaystyle Re(q)>-n.}$ Формулы для ${\displaystyle Re(q)>-n}$ и для ${\displaystyle Re(q)>-m}$ дают один и тот же результат при одинаковых значениях ${\displaystyle q,}$ при которых они обе имеют смысл: это определение непротиворечиво. Обобщённая функция ${\displaystyle T_{q}^{+},}$ определённая теперь для всех ${\displaystyle q,}$ , по-прежнему является однородной обобщённой функцией, поскольку соотношение однородности сохраняется при аналитическом продолжении.

С помощью ${\displaystyle T_{q}^{+}\left[\varphi \right]}$ определятся регуляризированные значения интеграла ${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx,}$ имеющие смысл при любых комплексных ${\displaystyle q.}$ Исключениями являются целочисленные значения ${\displaystyle q=-1,-2,\dots ,-n,\dots ,}$ где регуляризированный интеграл является сингулярным: функционал ${\displaystyle T_{q}^{+}\left[\varphi \right]}$ как функция переменной ${\displaystyle q}$ в точке ${\displaystyle q=-n}$ имеет простой полюс с вычетом ${\displaystyle \varphi ^{(n-1)}(0)/(n-1)!.}$

По той же схеме может быть аналитически продолжена для ${\displaystyle Re(q)\leq -1}$ присоединённая однородная функция ${\displaystyle T_{p,q}^{+}\left[\varphi \right]=\int _{0}^{+\infty }x^{q}\log ^{p}(x)\varphi (x)dx.}$ С её помощью определяются регуляризированные значения для интегралов ${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }x^{q}\log ^{p}(x)\varphi (x)dx,}$ имеющие смысл при ${\displaystyle Re(q)\leq -1.}$

Аналогичным, но более сложным образом конструируются однородные обобщённые функции и присоединённые однородные обобщённые функции для случая ${\displaystyle n}$ переменных. Подробности могут быть найдены в цитируемой здесь библиографии. Теория однородных обобщённых функций позволяет конструктивно осмыслить применительно к пространству обобщённых функций обычные функции, имеющие неинтегрируемые особенности — вычислять интегралы от таких функций, находить их преобразование Фурье и т. д.

Библиография: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро . Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

См. также

• Однородный многочлен
• Однородное уравнение
• Однородное дифференциальное уравнение
• Однородные координаты