Окру́жность Фу́рмана — окружность для данного треугольника с диаметром , равным отрезку прямой, который расположен между ортоцентром ${\displaystyle H}$ и точкой Нагеля ${\displaystyle N.}$

Названа по имени немецкого математика (1833—1904).

Радиус окружности Фурмана ${\displaystyle R_{F}}$ выражается через радиусы описанной ${\displaystyle R}$ и вписанной ${\displaystyle r}$ окружностей треугольника по теореме Эйлера :

${\displaystyle R_{F}={\sqrt {R(R-2r)}}.}$

Выражение для ${\displaystyle R_{F}}$ через стороны треугольника ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c:}$

${\displaystyle R_{F}=R{\sqrt {\frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b^{2}c-bc^{2}-ac^{2}+c^{3}}{abc}}}.}$

${\displaystyle R_{F}={\sqrt {{\frac {abc\,}{a+b+c}}\left[{\frac {abc\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]}}}$

Этому радиусу также равно расстояние между центром описанной окружности и инцентром .

Примечания

См. также

• Окружность Брокара также строится на отрезке в треугольнике как на диаметре.

Литература

• Johnson, Roger A.: Advanced Euclidean Geometry . Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0 , S. 228–229, 300 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry ).
• Honsberger, Ross: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry . MAA, 1995, S.
• Scott J. A.: An Eight-Point Circle . In: The Mathematical Gazette , Band 86, Nr. 506 (Jul., 2002), S. 326–328 ( от 15 ноября 2019 на Wayback Machine )
• от 25 апреля 2005 на Wayback Machine