Interested Article - Паракомпактное пространство

Паракомпактное пространство топологическое пространство , в любое открытое покрытие которого можно вписать локально конечное открытое покрытие.

При этом: семейство универсальных множеств ( множеств), лежащих в топологическом пространстве , называется локально конечным в , если у каждой точки существует окрестность в , пересекающаяся лишь с конечным множеством элементов семейства ; семейство множеств вписано в семейство множеств, если каждый элемент семейства содержится в некотором элементе семейства .)

Паракомпактом называется паракомпактное хаусдорфово пространство . Паракомпактность является одним из исходных требований в теории многообразий .

Каждое хаусдорфово паракомпактное пространство нормально . Это позволяет строить на паракомпактах разбиения единицы , подчинённые произвольному заданному открытому покрытию.

Свойства

  • В присутствии паракомпактности некоторые локальные свойства пространства синтезируются и выполняются глобально. В частности,
  • Паракомпактность не наследуется произвольными подпространствами, но каждое замкнутое подпространство паракомпакта есть паракомпакт.
  • Произведение двух паракомпактов может паракомпактом не быть.
  • В классе хаусдорфовых пространств
    • Прообраз паракомпакта при является паракомпактом,
    • Образ паракомпакта при непрерывном замкнутом отображении является паракомпактом.
  • К числу паракомпактов относятся, в частности, . Для пространства всех непрерывных вещественных функций на произвольном тихоновском пространстве , наделённом топологией поточечной сходимости, паракомпактность равносильна линдолёфовости.
  • Если банахово пространство в слабой топологии топологически порождается некоторым лежащим в нём компактом, то оно паракомпактно.
  • Все метризуемые пространства паракомпактны (теорема Стоуна) .
    • Паракомпакт метризуем в том и только в том случае, если он обладает базой счётного порядка, то есть базой, любая убывающая последовательность элементов которой, содержащих какую-либо точку , непременно образует базу в этой точке.
  • Все компакты паракомпактны, но
    • Но не каждое локально компактное хаусдорфово пространство паракомпактно.

Связанные определения

Счётно паракомпактное пространство — топологическое пространство, в любое счётное открытое покрытие которого можно вписать локально конечное открытое покрытие.

Слабо паракомпактное пространство (метакомпактное, точечно паракомпактное) — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать открытое покрытие.

Сильно паракомпактное пространство (гипокомпактное) — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать открытое покрытие.

Субпаракомпактное пространство (F σ -просеянное) — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать замкнутое σ-локально конечное покрытие

Литература

  • Энгелькинг, Р. Общая топология. — М. : Мир , 1986. — 752 с.
Источник —

Same as Паракомпактное пространство