Interested Article - Тензорное поле

Тензорное поле — это отображение , которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие тензор .

Определение

Формально тензорное поле можно определить несколькими способами.

Определение через понятие структуры на многообразии

Используя основное понятие дифференциальной геометрии — структура на многообразии , — можно дать следующее определение:

Пусть , и — пространство тензоров типа с естественным тензорным представлением группы , тогда структура типа является линейной структурой первого порядка и называется тензорным полем (или тензорной структурой ) типа .

Определение через понятие тензорного расслоения

При определении тензорного поля можно отталкиваться от понятия тензорного расслоения .

Тензорное поле — это сечение тензорного расслоения на дифференцируемом многообразии , изоморфного в общем случае тензорному произведению касательных и кокасательных расслоений

Нестрогое определение

Менее формально тензорное поле можно рассматривать как отображение , которое каждой точке рассматриваемого многообразия ставит в соответствие тензор постоянной валентности.

Область применения

Понятие тензорного поля естественным образом возникает в механике и физике сплошных сред при описании анизотропных сред . Понятие тензорного поля находит применение во всех прикладных науках, где такие среды рассматриваются и изучаются. Оно входит в математический аппарат общей и специальной теории относительности .

Расширенное тензорное поле

Понятие расширенного тензорного поля возникает в результате расширения понятия тензорного поля в изложенном выше смысле.

Нестрогое определение

Проще всего понимать такое расширение исходя из нестрогого определения, согласно которому тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке многообразия некоторый тензор фиксированной валентности , отнесенный к этой точке . Пусть теперь — некоторое другое многообразие, являющееся линейным расслоением над , и пусть — каноническая проекция для такого расслоения. Тогда расширенное тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке многообразия некоторый тензор фиксированной валентности на , отнесенный к точке .

Литература

  • Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова . — М. : Мир, 1965. — Т. 5. — С. 333. — 1060 с.
  • Рашевский, П. К. . — 3-е изд. — М. : Наука, 1967. — 664 с.
Источник —

Same as Тензорное поле