Квантовая механика
История Математические основы
Основа Классическая механика Постоянная Планка Интерференция Бра и кет Гамильтониан Старая квантовая теория
Фундаментальные понятия Квантовое состояние Квантовая наблюдаемая Волновая функция Квантовая суперпозиция Квантовая запутанность Смешанное состояние Измерение Неопределённость Принцип Паули Дуализм Декогеренция Симметрия Теорема Эренфеста Туннельный эффект
Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера Опыт Франка — Герца Опыт Штерна — Герлаха Опыт Юнга Квантовый ластик Квантовый ластик с отложенным выбором Проверка неравенств Белла Фотоэффект Эффект Комптона
Формулировки Представление Шрёдингера Представление Гейзенберга Представление взаимодействия Представление фазового пространства Матричная квантовая механика Интегралы по траекториям Диаграммы Фейнмана
Уравнения Шрёдингера Паули Клейна — Гордона Дирака Швингера — Томонаги фон Неймана Блоха Линдблада Гейзенберга
Интерпретации Копенгагенская Теория скрытых параметров Супердетерминизм Многомировая Теория де Бройля — Бома
Развитие теории Квантовая теория поля Квантовая электродинамика Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама Квантовая хромодинамика Стандартная модель Квантовая гравитация
Сложные темы Релятивистская квантовая механика Квантовая теория поля Квантовая гравитация Теория всего
Известные учёные Планк Эйнштейн Шрёдингер Гейзенберг Йордан Бор Паули Дирак Фок Борн де Бройль Ландау Фейнман Бом Эверетт
См. также История возникновения ЭПР-парадокс
См. также: Портал:Физика

Оператор в квантовой механике — это линейное отображение , которое действует на волновую функцию , являющуюся комплекснозначной функцией, дающей наиболее полное описание состояния системы. Операторы обозначаются большими латинскими буквами с циркумфлексом наверху. Например:

${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},\dots }$

Оператор действует на функцию, которая стоит справа от него (говорят также, что он применяется к функции или умножается на функцию):

${\displaystyle {\hat {A}}\Psi _{1}=\Psi _{2}}$

В квантовой механике используется математическое свойство линейных самосопряженных (эрмитовых) операторов , заключающееся в том, что каждый из них имеет собственные векторы и собственные вещественные значения . Они выступают в роли соответствующих данному оператору значений физических величин .

Арифметические операции над операторами

• Оператор ${\displaystyle {\hat {C}}}$ называется суммой (разностью) операторов ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}$ , если для любой функции ${\displaystyle \ \Psi }$ из области определения всех трёх операторов выполнено условие:

${\displaystyle {\hat {C}}\Psi ={\hat {A}}\Psi \pm {\hat {B}}\Psi }$

• Оператор ${\displaystyle {\hat {C}}}$ называется произведением операторов ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}$ , если для любой функции ${\displaystyle \ \Psi }$ выполнено условие:

${\displaystyle {\hat {C}}\Psi ={\hat {A}}({\hat {B}}\Psi )}$

В общем случае

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\not ={\hat {B}}{\hat {A}}}$

Если ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}={\hat {B}}{\hat {A}}}$ , то говорят, что операторы ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}$ коммутируют . Коммутатор операторов определяется как

${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$

Собственные значения и собственные функции оператора

Если имеет место равенство:

${\displaystyle {\hat {A}}\Psi =a\Psi ,}$

то ${\displaystyle \ a}$ называют собственным значением оператора ${\displaystyle {\hat {A}}}$ , а функцию ${\displaystyle \ \Psi }$ — собственной функцией оператора ${\displaystyle {\hat {A}},}$ соответствующей данному собственному значению. Чаще всего у оператора имеется множество собственных значений: ${\displaystyle \ a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},\dots }$ Множество всех собственных значений называется спектром оператора .

Линейные и самосопряжённые операторы

Оператор ${\displaystyle {\hat {L}}}$ называется линейным , если для любой пары ${\displaystyle \varphi _{i},C_{i}}$ выполнено условие:

${\displaystyle {\hat {L}}\sum _{i}C_{i}\varphi _{i}=\sum _{i}C_{i}{\hat {L}}\varphi _{i}.}$

Оператор ${\displaystyle {\hat {A}}}$ называется самосопряжённым ( эрмитовым ), если для любых ${\displaystyle \Psi ,\varphi }$ выполнено условие:

${\displaystyle \left\langle \Psi |{\hat {A}}\varphi \right\rangle =\left\langle {\hat {A}}\Psi |\varphi \right\rangle }$

При этом сумма самосопряжённых операторов есть самосопряжённый оператор. Произведение самосопряжённых операторов есть самосопряжённый оператор, если они коммутируют. Собственные значения самосопряжённых операторов всегда вещественны. Собственные функции самосопряжённых операторов, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны .

Операторы, используемые в квантовой физике

Основными характеристиками физической системы в квантовой физике являются наблюдаемые величины и состояния .

В квантовой физике наблюдаемым величинам сопоставляются линейные самосопряжённые операторы в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве , состояниям — классы нормированных элементов этого пространства (с нормой 1). Это делается в основном по двум причинам:

• Собственные значения самосопряжённых операторов, соответствующие конкретным значениям физических величин, являются вещественными числами , то есть тем, с чем на практике имеют дело экспериментаторы (показания приборов, результаты вычислений и т. д.).

• Одна и та же квантовая частица может находиться одновременно во множестве квантовых состояний , которые и характеризуются множеством собственных значений соответствующего оператора. Это может быть конечное множество (дискретный спектр значений), интервал ( непрерывный спектр значений) или смешанное множество.

В квантовой физике существует «нестрогое» правило для построения оператора физических величин: соотношения между операторами в целом такое же, как между соответствующими классическими величинами. Основываясь на этом правиле, были введены следующие операторы (в координатном представлении):

• Оператор координат :

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}=x}$

Действие оператора координат заключается в умножении на вектор координат.

• Оператор импульса :

${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla }$

Здесь ${\displaystyle \ i}$ — мнимая единица , ${\displaystyle \nabla }$ — оператор набла .

• Оператор кинетической энергии :

${\displaystyle {\hat {T}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }$

Здесь ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Дирака , ${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа .

• Оператор потенциальной энергии :

${\displaystyle {\hat {U}}=U(x,y,z,t)}$

Действие оператора здесь сводится к умножению на функцию.

• Оператор Гамильтона :

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {U}}}$

• Оператор момента импульса :

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}=-i\hbar [\mathbf {r} ,\nabla ]}$ . Такой вид был выбран также по причинам, связанным с теоремой Нётер и группой SO(3)

• Оператор спина :

В важнейшем случае спина 1/2 оператор спина имеет вид: ${\displaystyle {\hat {s}}={\frac {1}{2}}{\hat {\sigma }}}$ , где

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$ , ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$ , ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$ — т. н. матрицы Паули . Этот вид аналогичен предыдущему, но связан с группой SU(2) .

См. также

• Гейзенберговское представление операторов
• Представление Шрёдингера
• Оператор Гамильтона

Литература

1. Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. « Теоретическая физика », в 10 т., т. 3, «Квантовая механика (нерелятивистская теория)», 5-е изд., М., Физматлит, 2002, 808 с., ISBN 5-9221-0057-2 (т. 3);
2. «Функциональный анализ», изд. 2, перер. и дополн. (серия «Справочная математическая библиотека»,) коллектив авторов, ред. С. Г. Крейн , М., «Наука», 1972, 517.2 Ф 94 УДК 517.4(083, 544 с., гл. 9 «Операторы квантовой механики», с. 423—455;