Имплика́ция
(от
лат.
«связь; сплетение») —
бинарная
логическая связка, по своему применению приближенная к союзам
«
если
…,
то
…»
.
Импликация записывается как
посылка
следствие
; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону, но всегда указывающие на следствие.
Суждение
, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами
:
Импликация играет очень важную роль в умозаключениях. С её помощью формулируются определения различных понятий, теоремы, научные законы
.
При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключением
.
Содержание
Булева логика
В
булевой логике
импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества
. Результат также принадлежит множеству
. Вычисление результата производится по простому правилу либо по
таблице истинности
. Вместо значений
может использоваться любая другая пара подходящих символов, например
или
или «ложь», «истина».
Правило:
Импликация как булева функция
ложна
лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, операция
— это сокращённая запись выражения
.
Таблицы истинности:
прямая импликация
(от
a
к
b,
) (
(англ.)
(
,
(англ.)
(
)
если
первый операнд
не больше
второго операнда,
то
1,
если
,
то
истинно (1).
«Житейский» смысл импликации.
Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель:
А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0).
В — подчинённый. Он может работать (1) или бездельничать (0).
В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчинённого начальнику.
По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчинённый бездельничает.
если
первый операнд
меньше
второго операнда,
то
1,
если
,
то
истинно (1).
Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов.
Синонимические импликации выражения в русском языке
Если
А
, то
Б
Б
в том случае, если
А
При
А
будет
Б
Из
А
следует
Б
В случае
А
произойдёт
Б
Б
, так как
А
Б
, потому что
А
А
— достаточное условие для
Б
Б
— необходимое условие для
А
А
имплицирует
Б
А
влечёт
Б
Многозначная логика
Теория множеств
Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого.
Импликация обозначается символом
, и ей соответствует вложение множеств: пусть
, тогда
Например, если
— множество всех квадратов, а
— множество прямоугольников, то,
конечно,
и
(
a
— квадрат)
(
a
— прямоугольник).
(если
a
является квадратом, то
a
является прямоугольником).
Можно доказать эквивалентность импликации
формуле
(с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле
, которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)).
Поэтому любое высказывание можно заменить на эквивалентное ему без знаков импликации.
В
интуиционистской логике
импликация никоим образом не сводится к
отрицаниям
. Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде
, где
— пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.
В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип)
отображений
из A в B.
Логика силлогизмов
В учении о
силлогизмах
импликации отвечает «общеутвердительное атрибутивное высказывание».
Лингвистика
В лингвистике под импликацией (от implicāre «вплетать, впутывать») понимается использование в предложении неявных (имплицитных) словесных выражений, в том числе недосказанность в виде упущения одного или нескольких существительных в определительной цепочке. Так, например, А. Д. Швейцер и Б. Н. Климзо в своих трудах для переводчиков с английского языка и на английский выделяют 7 типов импликаций, которые надо учитывать: первые должны устранять в своих переводах импликации, неприемлемые в русском языке, а вторым полезно использовать английские импликации с целью компрессии текста.