Отноше́ние — математическая структура , которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Распространёнными примерами отношений в математике являются равенство (=) , делимость , подобие , параллельность и многие другие.

Понятие отношения как подмножества декартова произведения формализовано в теории множеств и получило широкое распространение в языке математики во всех её ветвях. Теоретико-множественный взгляд на отношение характеризует его с точки зрения объёма — какими комбинациями элементов оно наполнено; содержательный подход рассматривается в математической логике , где отношение — пропозициональная функция , то есть выражение с неопределёнными переменными, подстановка конкретных значений для которых делает его истинным или ложным. Важную роль отношения играют в универсальной алгебре , где базовый объект изучения раздела — множество с произвольным набором операций и отношений. Одно из самых ярких применений техники математических отношений в приложениях — реляционные системы управления базами данных , методологически основанные на формальной алгебре отношений .

Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов ( арность ) и собственным свойствам, таким как симметричность , транзитивность , рефлексивность .

Формальные определения и обозначения

${\displaystyle n}$ -местным ( ${\displaystyle n}$ - арным ) отношением ${\displaystyle R}$ , заданным на множествах ${\displaystyle M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}}$ , называется подмножество декартова произведения этих множеств: ${\displaystyle R\subseteq M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n}}$ . Факт связи ${\displaystyle n}$ -ки элементов ${\displaystyle \langle m_{1}\in M_{1},m_{2}\in M_{2},\dots m_{n}\in M_{n}\rangle }$ отношением ${\displaystyle R}$ обозначается ${\displaystyle R(m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})}$ или ${\displaystyle (m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})\in R}$ .

Факт связи объектов ${\displaystyle m_{1}\in M_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}\in M_{2}}$ бинарным отношением ${\displaystyle R\subset M_{1}\times M_{2}}$ обычно обозначают с помощью инфиксной записи : ${\displaystyle m_{1}\,R\,m_{2}}$ . Одноместные ( унарные ) отношения соответствуют свойствам или атрибутам, как правило, для таких случаев терминология отношений не используется. Иногда используются трёхместные отношения ( тернарные ), четырёхместные отношения ( кватернарные ); об отношениях неопределённо высокой арности говорят как о мультиарных («многоместных»).

Универсальное отношение — это отношение, связывающее все элементы заданных множеств, то есть, совпадающее с декартовым произведением: ${\displaystyle R=M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n}}$ .

Нуль-отношение — отношение, не связывающее никакие элементы, то есть пустое множество : ${\displaystyle R=\varnothing \subset M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n}}$ .

Функциональное отношение — отношение, образующее функцию : ${\displaystyle R\subseteq M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n}\dots M_{n+1}}$ является функциональным, если из выполнения ${\displaystyle R(m_{1},\dots ,m_{n},x)}$ и ${\displaystyle R(m_{1},\dots ,m_{n},y)}$ следует, что ${\displaystyle x=y}$ (обеспечивается единственность значения функции).

Общие свойства и виды бинарных отношений

Наиболее распространённые в языке математики отношения — бинарные над одним множеством ( ${\displaystyle R\subseteq M^{2}}$ ), наиболее часто используются обладающие некоторыми общими свойствами :

• симметричностью ( ${\displaystyle a\,R\,b\Rightarrow b\,R\,a}$ ) или антисимметричностью ( ${\displaystyle a\,R\,b\,\wedge \,b\,R\,a\Rightarrow a\,=\,b}$ ),
• рефлексивностью ( ${\displaystyle a\,R\,a}$ ) или антирефлексивностью ${\displaystyle \neg \,(a\,R\,a)}$ ,
• транзитивностью ( ${\displaystyle a\,R\,b\land b\,R\,c\Rightarrow a\,R\,c}$ ) или антитранзитивностью ( ${\displaystyle a\,R\,b\land b\,R\,c\Rightarrow \neg \,a\,R\,c}$ ),
• ( ${\displaystyle a\neq b\Rightarrow a\,R\,b\lor b\,R\,a}$ ).

В зависимости от набора свойств бинарных отношений формируются некоторые широко используемые их виды:

• отношение эквивалентности — всякое рефлексивное , транзитивное и симметричное отношение;
• отношение предпорядка — рефлексивное и транзитивное;
• отношение частичного порядка — рефлексивное, транзитивное и антисимметричное;
• отношение строгого порядка — антирефлексивное, транзитивное, антисимметричное;
• отношение линейного порядка — связное, рефлексивное, антисимметричное.

Важную роль играет отношение равенства — отношение эквивалентности, выполненное только для двух совпадающих элементов.

Могут быть и другие комбинации свойств отношений, например, транзитивно и рефлексивно, но не обладает другими простыми свойствами, отношение делимости на множестве натуральных чисел , обычно обозначаемое символом ${\displaystyle |}$ , оно состоит из пар вида ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ , где ${\displaystyle x}$ делит ${\displaystyle y}$ нацело. Пример тернарного отношения — образование пифагоровой тройки тремя числами, нахождение в отношении пифагоровой четвёрки — пример кватернарного отношения.

Более свободный набор свойств бинарных отношений применяется в теории графов : неориентированный граф может быть определён как множество вершин с симметричным бинарным отношением над ним, а ориентированный граф — как множество вершин с произвольным бинарным отношением над ним.

Алгебры отношений

Все ${\displaystyle n}$ -арные отношения над декартовым произведением ${\displaystyle M_{1}\times \dots \times M_{n}}$ образуют булеву алгебру относительно теоретико-множественных операций объединения , пересечения и дополнения .

Реляционная алгебра — замкнутая система операций над отношениями в реляционной модели данных .

Примечания

Литература

• Отношение — статья из Математической энциклопедии . Д. М. Смирнов
• Колмогоров А. Н. , Драгалин А. Г. Введение в математическую логику. — М. : Издательство Московского университета, 1982. — 120 с. — 29 500 экз.