Но́рма
— отображение элементов конечного
расширения
E
поля
K
в исходное поле
K
, определяемое следующим образом:
Пусть
E
— конечное расширение поля
K
степени
n
,
— какой-нибудь элемент поля
E
. Поскольку
E
является
векторным пространством
над
K
, данный элемент определяет
линейное преобразование
. Этому преобразованию в некотором базисе можно сопоставить
матрицу
.
Определитель
этой матрицы называется нормой элемента
α
. Так как в другом базисе отображению будет соответствовать
подобная матрица
с тем же определителем, норма не зависит от выбранного базиса, то есть элементу расширения можно однозначно сопоставить его норму. Она обозначается
или просто
, если понятно, о каком расширении идет речь.
Содержание
Свойства
тогда и только тогда, когда
.
для любого
Норма транзитивна, то есть для цепочки расширений
имеем
Пусть
σ
1
, σ
2
… σ
m
— все автоморфизмы
E
, сохраняющие неподвижными элементы поля
K
. Если
E
—
расширение Галуа
, то
m
равно степени [
E
:
К
] =
n
. Тогда для нормы существует следующее выражение:
Если
E
несепарабельно, то
m≠n
, однако
n
кратно
m
, причём частное является некоторой степенью
характеристики
p
.
Определитель этой матрицы равен
, то есть квадрату обычного
модуля комплексного числа
. Заметим, что обычно эту норму определяют как
и это хорошо согласуется с тем, что
комплексное сопряжение
является нетривиальным автоморфизмом поля комплексных чисел.