Interested Article - Неравенство

Нера́венство в математике отношение , связывающее два числа (или два иных математических объекта ) с помощью одного из перечисленных ниже знаков .

Область допустимых решений (« feasible region ») в задачах линейного программирования
Демонстрация основных знаков неравенства
Строгие неравенства
  • — означает, что меньше , чем
  • — означает, что больше , чем

Неравенства и равносильны. Говорят, что знаки и противоположны ; например, выражение «знак неравенства сменился на противоположный» означает, что заменено на или наоборот.

Нестрогие неравенства
  • — означает, что меньше или равно
  • — означает, что больше или равно

Русскоязычная традиция начертания знаков ⩽ и ⩾ соответствует международному стандарту ISO 80000-2 . За рубежом иногда используются знаки ≤ и ≥ или ≦ и ≧. Про знаки ⩽ и ⩾ также говорят, что они противоположны .

Другие типы неравенств
  • — означает, что не равно .
  • — означает, что величина намного больше, чем
  • — означает, что величина намного меньше, чем

Далее в данной статье, если не оговорено иное, понятие неравенства относится к первым 4 типам.

В элементарной математике изучают числовые неравенства (рациональные, иррациональные, тригонометрические, логарифмические, показательные). В общей алгебре , анализе , геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы.

Связанные определения

Неравенства с одинаковыми знаками называются одноимёнными (иногда используется термин «одного смысла» или «одинакового смысла»).

Допускается двойное или даже многократное неравенство, объединяющее несколько неравенств в одно. Пример:

— это краткая запись пары неравенств: и

Числовые неравенства

Числовые неравенства содержат вещественные числа (для комплексных чисел сравнение на больше-меньше не определено) и могут содержать также символы неизвестных Числовые неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются (аналогично уравнениям ) на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические неравенства, в свою очередь, подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. Например, неравенство — алгебраическое первой степени, неравенство — алгебраическое третьей степени, неравенство — трансцендентное .

Свойства

Свойства числовых неравенств в некоторых отношениях близки к свойствам уравнений :

  • К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.
  • От обеих частей неравенства можно отнять одно и то же число. Следствие: как и для уравнений, любой член неравенства можно перенести в другую часть с противоположным знаком. Например, из следует, что
  • Обе части неравенства можно умножить на одно и то же положительное число.
  • Одноимённые неравенства можно складывать: если, например, и то Неравенства с противоположными знаками можно аналогично почленно вычитать.
  • Если все четыре части двух неравенств положительны, то неравенства можно перемножить.
  • Если обе части неравенства положительны, то их можно возвести в одну и ту же (натуральную) степень, а также логарифмировать с любым основанием (если основание логарифма меньше 1, то знак неравенства надо изменить на противоположный).
Другие свойства
  • Транзитивность : если и то и аналогично для прочих знаков.
  • Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный: больше на меньше , больше или равно на меньше или равно и т. д.

Решение неравенств

Пусть даны функции и . Если требуется найти все числа из области, являющейся пересечением областей существования этих функций, для каждого из которых выполняется неравенство , то говорят, что требуется решить неравенство


Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при каких значениях неизвестных неравенство выполняется. Примеры:

выполняется при
выполняется, если или
не выполняется никогда (решений нет).
выполняется при всех ( тождество ).

Внимание : если возвести в чётную степень неравенство, содержащее неизвестные, могут появиться «лишние» решения. Пример: если неравенство возвести в квадрат: то появится ошибочное решение не удовлетворяющее исходному неравенству. Поэтому все полученные таким образом решения следует проверить подстановкой в исходное неравенство.

Неравенства первой степени

Неравенство первой степени имеет общий формат: или где (работа со знаками и аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на и, если измените знак неравенства на противоположный . Пример:

Приведём подобные члены: или

Системы неравенств первой степени

Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство в отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.

Пример 1 . Из системы получаем два решения: для первого неравенства для второго: Соединяя их, получаем ответ:

Пример 2 . Решения: и Второе решение поглощает первое, так что ответ:

Пример 3 . Решения: и они несовместимы, поэтому исходная система не имеет решений.

Неравенства второй степени

Общий вид неравенства второй степени (называемого также квадратным неравенством ):

или

Если квадратное уравнение имеет вещественные корни то неравенство можно привести к виду соответственно:

или

В первом случае и должны иметь одинаковые знаки, во втором — разные. Для окончательного ответа надо применить следующее простое правило .

Квадратный трёхчлен с разными вещественными корнями отрицателен в интервале между корнями и положителен вне этого интервала.

Если оказалось, что у уравнения вещественных корней нет, то его левая часть сохраняет один и тот же знак при всех Поэтому исходное неравенство второй степени либо является тождеством, либо не имеет решений (см. ниже примеры ).

Пример 1 . Разделив на приведём неравенство к виду: Решив квадратное уравнение получаем корни поэтому исходное неравенство равносильно такому: Согласно приведенному выше правилу, что и является ответом.

Пример 2 . Аналогично получаем, что и имеют одинаковые знаки, то есть, согласно правилу, или

Пример 3 . Уравнение не имеет вещественных корней, поэтому левая часть его сохраняет знак при всех При левая часть положительна, поэтому исходное неравенство есть тождество (верно при всех ).

Пример 4 . Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.

Аналогично, разложением на множители, можно решать неравенства высших степеней. Другой способ — построить график левой части и определить, какие знаки она имеет в различных интервалах .

Прочие неравенства

Существуют также дробно-рациональные, иррациональные, логарифмические и тригонометрические неравенства.

Некоторые известные неравенства

Ниже приведены практически полезные неравенства, тождественно выполняющиеся, если неизвестные попадают в указанные границы .

где — положительное число, большее 1.
См. следствия этого неравенства в статье Абсолютная величина .

Знаки неравенства в языках программирования

Символ «не равно» в разных языках программирования записывается по-разному.

символ языки
!= C , C++ , C# , Java , JavaScript , Perl , PHP , Python , Wolfram Language
<> Basic , Pascal , 1С
Lua
/= Haskell , Fortran , Ada
# Modula-2 , Oberon

Коды знаков неравенств

Символ Изображение Юникод Русское название HTML LaTeX
Код Название Шестнадцатеричное Десятичное Мнемоника
< U+003C Less-than sign Меньше &#x3C; &#60; &lt; <, \textless
> U+003E Greater-than sign Больше &#x3E; &#62; &gt; >, \textgreater
U+2A7D Less-than or slanted equal to Меньше или равно &#x2A7D; &#10877; нет \leqslant
U+2A7E Greater-than or slanted equal to Больше или равно &#x2A7E; &#10878; нет \geqslant
U+2264 Less-than or equal to Меньше или равно &#x2264; &#8804; &le; \le, \leq
U+2265 Greater-than or equal to Больше или равно &#x2265; &#8805; &ge; \ge, \geq
U+226A Much less-than Много меньше &#x226A; &#8810; нет \ll
U+226B Much greater-than Много больше &#x226B; &#8811; нет \gg

См. также

Примечания

  1. Неравенства // . — М. : Советская Энциклопедия , 1982. — Т. 3. — С. 999. 16 октября 2013 года.
  2. , с. 177.
  3. , с. 178.
  4. , с. 217—222.
  5. , с. 180—181.
  6. , с. 212—213, 219—222.
  7. , с. 174—176.

Литература

  • Беккенбах Э. Ф. Неравенства. — М. : Мир, 1965.
  • Выгодский М. Я. . — М. : Наука, 1978.
  • Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М. : Наука, 1976. — 591 с.
  • Харди Г. Г., Литлвуд Д. И., Полиа Д. Неравенства. — М. : Иностранная литература, 1948.
Источник —

Same as Неравенство