${\displaystyle 8~/~13}$		${\displaystyle {\frac {8}{13}}}$	числитель
числитель	знаменатель		знаменатель
Две записи одной дроби

Дробь в арифметике — число , состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы .

В математике используется несколько обобщённое определение, различающее два типа дробей.

1. Обыкновенные дроби вида ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ , где ${\displaystyle m}$ целое , ${\displaystyle n}$ натуральное . В отличие от арифметического определения, такая дробь может иметь знак минус .
2. Запись (не обязательно дробных) чисел в позиционных системах счисления . Наиболее известны десятичные дроби , удобные для людей, и двоичные дроби , которые используются для расчётов на компьютерах .

В математической записи дроби вида ${\displaystyle m/n}$ или ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ число перед (над) чертой называется числителем , а число после черты (под чертой) — знаменателем . Первый выступает в роли делимого , второй — делителя .

В общей алгебре обыкновенные дроби образуют поле , называемое полем рациональных чисел .

Виды дробей

Обыкновенные дроби

Обыкновенная (или простая ) дробь — запись числа в виде ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ или ${\displaystyle m/n,}$ где ${\displaystyle m}$ — целое, а ${\displaystyle n}$ — натуральное число. Горизонтальная [называется винкулум] или косая [солидус] черта обозначает знак деления, в результате которого получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем .

Обозначения обыкновенных дробей

Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:

• ½,
• 1/2 (такая наклонная черта называется «слеш»),
• ${\displaystyle ^{1}\!/_{2}}$ (такая наклонная черта называется «солидус» ),
• выключная формула: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ,
• строчная формула: ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ .

Правильные и неправильные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя или равен ему, называется неправильной и представляет собой число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби ${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$ , ${\displaystyle {\frac {7}{8}}}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ — правильные, в то время как ${\displaystyle {\frac {8}{3}}}$ , ${\displaystyle {\frac {9}{5}}}$ , ${\displaystyle {\frac {2}{1}}}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$ — неправильные. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем ${\displaystyle 1}$ .

Смешанные числа

Число, записанное в виде натурального числа и правильной дроби, называется смешанным числом (или смешанной дробью ) и понимается как сумма этого натурального числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанного числа (с добавлением спереди знака «минус» для отрицательных чисел). В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой .

Например, ${\displaystyle 2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}}$ .

Составные дроби

Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\bigg /}{\frac {1}{3}}}$ или ${\displaystyle {\frac {1/2}{1/3}}}$ или ${\displaystyle {\frac {12{\frac {3}{4}}}{26}}}$ .

Вообще говоря, знак дроби в таком обобщённом смысле применяется не только для дробей, но и для компактного обозначения деления, причём даже не только целых чисел, но и любых действительных и комплексных чисел, функций, многочленов и тому подобных операндов различных операций деления.

Десятичные дроби

Десятичной дробью называют позиционную запись дроби, в которой знаменатель не дан в явном виде, но понимается как целое число, степень десяти (напр. 100, 1000 и др). Она выглядит следующим образом (знак ${\displaystyle +}$ вне арифметических выражений обычно опускается):

${\displaystyle \pm a_{1}a_{2}\dots a_{n}{,}b_{1}b_{2}\dots }$

Часть записи, которая стоит до запятой , в случае неотрицательной дроби является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью . Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную , которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью .

Пример: десятичная дробь ${\displaystyle 3{,}1415926}$ в формате обыкновенной дроби равна ${\displaystyle {\frac {31415926}{10000000}}}$ .

Десятичные дроби с бесконечным числом цифр справа от десятичного разделителя представляют собой бесконечный ряд. Например, 1/3 = 0,333… представляет собой бесконечный ряд 3/10 + 3/100 + 3/1000 + …

Десятичные дроби также могут быть выражены в экспоненциальном представлении с отрицательными показателями, например запись 6,023 × 10 ⁻⁷ , означает 0,0000006023 (умножение на ${\displaystyle 10^{-7}}$ , или, что то же, деление на ${\displaystyle 10^{7},}$ перемещает знак запятой на 7 разрядов влево).

Другой вид дроби представляет собой процент ( лат. Pro Centum — «на сто»), представленный символом % , в которой подразумеваемый знаменатель всегда равен 100. Таким образом, 51 % означает 51/100. Проценты больше 100 или меньше нуля обрабатываются таким же образом, например, 311 % равняется 311/100, а −27 % равняется −27/100.

Схожее понятие промилле или частей на тысячу подразумевает знаменатель 1000 . Распространенным обозначением частей на миллион является ( англ. parts per million — ppm), Например 75 ppm, означает, что пропорция составляет 75 / 1000000.

Международная система единиц

Международное обозначение	Русское	Система СИ
ppm	млн −1 ; 1:10 6	микро (мк)
ppb	млрд −1 ; 1:10 9	нано (н)
ppt	трлн −1 ; 1:10 12	пико (п)
ppquad	квадрлн −1 ; 1:10 15	фемто (ф)

Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева ).

Значение дроби и основное свойство дроби

Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.

Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:

${\displaystyle {\frac {P}{R}}={\frac {C\cdot P}{C\cdot R}}}$

то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:

${\displaystyle {\frac {3}{4}}={\frac {9}{12}}={\frac {12}{16}}}$

И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель , то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:

${\displaystyle {\frac {12}{16}}={\frac {12:4}{16:4}}={\frac {3}{4}}}$ — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель ${\displaystyle 4}$ .

Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты , то есть не имеют общих делителей, кроме ${\displaystyle \pm 1.}$

Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, кроме случаев окончания записи бесконечной последовательностью либо только нулей (которые можно опустить), либо только девяток. Например:

${\displaystyle 0,\!999...=1}$ — две разные записи дроби соответствуют одному числу ;

${\displaystyle 2,\!13999...=2,\!14}$ .

Действия с дробями

В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь .

Приведение к общему знаменателю

Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать ( привести ) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ и ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$ . Порядок действий:

• Находим наименьшее общее кратное знаменателей: ${\displaystyle M=[b,d]}$ .
• Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на ${\displaystyle M/b}$ .
• Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на ${\displaystyle M/d}$ .

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны ${\displaystyle M}$ ). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве ${\displaystyle M}$ любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в .

Сравнение

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.

Пример. Сравниваем ${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$ и ${\displaystyle {\frac {4}{5}}}$ . ${\displaystyle \mathrm {HOK} (4,5)=20}$ . Приводим дроби к знаменателю ${\displaystyle 20}$ .

${\displaystyle {\frac {3}{4}}={\frac {15}{20}};\quad {\frac {4}{5}}={\frac {16}{20}}}$

Следовательно, ${\displaystyle {\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}}$

Сложение и вычитание

Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:

Пример 1 : ${\displaystyle \quad {\frac {1}{2}}}$ + ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ = ${\displaystyle {\frac {3}{6}}}$ + ${\displaystyle {\frac {2}{6}}}$ = ${\displaystyle {\frac {5}{6}}}$

НОК знаменателей (здесь ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle 3}$ ) равно ${\displaystyle 6}$ . Приводим дробь ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ к знаменателю ${\displaystyle 6}$ , для этого числитель и знаменатель надо умножить на ${\displaystyle 3}$ .
Получилось ${\displaystyle {\frac {3}{6}}}$ . Приводим дробь ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на ${\displaystyle 2}$ . Получилось ${\displaystyle {\frac {2}{6}}}$ .
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ — ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ = ${\displaystyle {\frac {2}{4}}}$ — ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ = ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$

НОК знаменателей (здесь ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle 4}$ ) равно ${\displaystyle 4}$ . Приводим дробь ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ к знаменателю ${\displaystyle 4}$ , для этого надо числитель и знаменатель умножить на ${\displaystyle 2}$ . Получаем ${\displaystyle {\frac {2}{4}}}$ .

Пример 2 : ${\displaystyle \quad {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{7}}={\frac {3\cdot 7}{5\cdot 7}}+{\frac {2\cdot 5}{7\cdot 5}}={\frac {21}{35}}+{\frac {10}{35}}={\frac {31}{35}}}$

Умножение и деление

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.}$

В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\cdot 3={\frac {6}{3}}=2}$

В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:

${\displaystyle {\frac {5}{8}}\cdot {\frac {2}{5}}={\frac {10}{40}}={\frac {1}{4}}.}$

Определим обратную дробь для дроби ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ как дробь ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$ (здесь ${\displaystyle a,b\neq 0}$ ). Тогда, согласно определению умножения, произведение дроби на обратную к ней равно 1:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}={\frac {ab}{ab}}=1}$

Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}},\quad b,c,d\neq 0.}$

Например:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}:{\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{1}}={\frac {3}{2}}.}$

Возведение в степень и извлечение корня

Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести её числитель и знаменатель в эту же степень:

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},b\neq 0.}$

Пример:

${\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)^{3}={\frac {2^{3}}{3^{3}}}={\frac {8}{27}}}$

Чтобы извлечь корень из дроби, необходимо извлечь соответствующий корень из числителя и знаменателя:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}},b\neq 0.}$

Пример:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {64}{125}}}={\frac {\sqrt[{3}]{64}}{\sqrt[{3}]{125}}}={\frac {4}{5}}.}$

Преобразование между разными форматами записи

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью . Примеры:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {5}{10}}=0{,}5}$

${\displaystyle {\frac {1}{7}}=0{,}142857142857142857\dots =0{,}(142857)}$ — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.

Чтобы преобразовать десятичную дробь с конечным числом десятичных знаков в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:

${\displaystyle 71{,}1475=71+{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {59}{400}}}$

Бесконечная десятичная дробь, вообще говоря, не может быть точно представлена как обыкновенная. Исключением являются периодические десятичные дроби , для которых такое представление всегда возможно .

Пример (см. также Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную ). Преобразуем периодическую дробь ${\displaystyle 1{,}3(142857)=1{,}3\ 142857\ 142857\ 142857\dots }$ в обыкновенную дробь. ${\displaystyle 1{,}3(142857)=1{,}3+0{,}1\cdot 0{,}(142857).}$ Обозначим ${\displaystyle x=0{,}(142857)}$ , тогда ${\displaystyle 1000000\cdot x=142857+x,}$ откуда: ${\displaystyle 999999x=142857,}$ или: ${\displaystyle x={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}.}$ В итоге получаем: ${\displaystyle 1{,}3(142857)=1{,}3+0{,}1x=1{,}3+0{,}1\cdot {\frac {1}{7}}.={\frac {13}{10}}+{\frac {1}{70}}={\frac {92}{70}}=1{\frac {11}{35}}.}$

История и этимология термина

Русский термин дробь , как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura , который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять . Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики. Через арабов термин, в переводе на латинский, перешёл в Европу, он упоминается уже у Фибоначчи (1202 год). Слова числитель и знаменатель ввёл в оборот греческий математик Максим Плануд .

Дроби вычислялись ещё в Древнем Египте . До наших дней сохранились математические источники о египетских дробях : Математический папирус Ринда (ок. 1650 год до н. э.) , Египетский математический кожаный свиток (XVII век до н. э.) , Московский математический папирус (ок. 1850 год до н. э.), (ок. 1950 год до н. э.) .

В Китае обыкновенные дроби встречаются в труде « Математика в девяти книгах » (X—II в до н. э.), отредактированной во II в до н. э. финансовым чиновником Чжан Цаном . Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске ( суаньпань ). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную . Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» (1427 г.) объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси , жившего на пять веков раньше .

Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными . Современное обозначение обыкновенных дробей происходит из Древней Индии — вначале его позаимствовали арабы , а затем, в XII - XVI веках , — европейцы. Вначале в дробях не использовалась дробная черта: числа ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}},2{\tfrac {1}{5}}}$ записывались таким способом: ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}1\\4\end{smallmatrix}},{\begin{smallmatrix}2\\\mathrm {I} \\5\end{smallmatrix}}.}$ Использование черты дроби стало постоянным лишь около 300 лет назад. В Европе первым учёным, который использовал и распространял индийскую систему счёта (известную как «арабские цифры»), в том числе способ записи дробей, стал итальянский купец, путешественник, сын городского писаря — Фибоначчи (Леонардо Пизанский) . Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке ( Тарталья , Клавиус ).

В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585). Стевин записывал десятичные дроби сложными способами: например, число 42,53 записывалось как ${\displaystyle {\overset {\underset {0}{}}{4}}2~{\overset {\underset {1}{}}{5}}~{\overset {\underset {2}{}}{3}}}$ или 42 ⓪ 5 ① 3 ② , где 0 в круге или над строкой означал целую часть, 1 — десятые, 2 — сотые, и так далее. Запятую для отделения целой части стали использовать с XVII века .

На Руси дроби называли долями . В первых российских учебниках математики — в XVII веке — дроби назывались ломаными числами . Термин дробь , как аналог латинского fractura , используется в «Арифметике» Магницкого (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.

Обобщения

• Кольцо частных
• Рациональная функция — дробь, составленная из многочленов .

См. также

• Дроби в Юникоде
• Цепная дробь
• Египетские дроби

Примечания

Литература

На русском:

• Дробь арифметическая // . — Москва: Советская Энциклопедия , 1982. — Т. 2. — С. 389—390.
• Математика: Учеб. для 5 кл. средн. шк. / под ред. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 4-е изд. — Чебоксары: Чув. кн. изд-во, 1997. — С. 202—203, 230.
• Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1983. — С. 51. — 480 с.

На английском:

• Berggren, J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // (англ.) . — Princeton University Press , 2007. — P. . — ISBN 978-0-691-11485-9 .
• Jean-Claude Martzloff. A History of Chinese Mathematics. Springer (англ.) . — 1997. — ISBN 3-540-33782-2 .
• William K. Simpson. An Additional Fragment from the "Hatnub" Stela // Journal of Near Eastern Studies. — 1961. — Январь ( т. 20 , № 1 ). — С. 25—30 .
• Clagett, Marshall. Memoirs of the American Philosophical Society 232 // Ancient Egyptian Science: A Source Book. — Philadelphia: American Philosophical Society, 1999. — Т. 3. — С. 17—18, 25, 37—38, 255—257.

Ссылки

• (англ.) . British Museum. Дата обращения: 13 января 2019.
• (неопр.) . Справочник ПараТайп .