Interested Article - Троичная система счисления

Трои́чная систе́ма счисле́ния — позиционная система счисления с целочисленным основанием, равным 3.

Существует в двух вариантах: несимметричная и симметричная.

Один троичный разряд называется трит (сокращение от tri nary digi t ).

Троичные цифры

В несимметричной троичной системе счисления чаще применяются цифры {0,1,2}, а в троичной симметричной системе счисления знаки {−,0,+}, {−1,0,+1}, { 1 ,0,1}, { 1 ,0,1}, {i,0,1}, {N,O,P}, {N,Z,P} и цифры {2,0,1}, {7,0,1} ^{[

источник не указан 4142 дня

]} . В распечатках ЭВМ « Сетунь » использовалось кодирование { 1 ,0,1} . Троичные цифры можно обозначать любыми тремя знаками {A,B,C}, но при этом дополнительно нужно указать старшинство знаков, например, A<B<C.

Физические реализации

В цифровой электронике , независимо от варианта троичной системы счисления, одному троичному разряду в троичной системе счисления соответствует один троичный триггер как минимум на трёх инверторах с логикой на входе или два двоичных триггера как минимум на четырёх инверторах с логикой на входе.

Представление чисел в троичных системах счисления

Несимметричная троичная система счисления

Примером представления чисел в несимметричной троичной системе счисления может служить запись в этой системе целых положительных чисел:

Десятичное число	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Троичное число	0	1	2	10	11	12	20	21	22	100	101

Если в десятичной системе счисления имеется 10 цифр и веса соседних разрядов различаются в 10 раз (разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен), то в троичной системе используются только три цифры и веса соседних разрядов различаются в три раза (разряд единиц, разряд троек, разряд девяток, …). Цифра 1, написанная первой левее запятой, обозначает единицу; эта же цифра, написанная второй левее запятой, обозначает тройку и т. д.

Несимметричная троичная система счисления является частным случаем спаренных (комбинированных) показательных позиционных систем счисления, в которой a _k — из троичного множества a={0,1,2}, b=3, веса разрядов равны 3 ^k .

Показательные системы счисления

В показательных позиционных троичных системах счисления используются две системы:

внутриразрядная система кодирования с основанием с , числа которой используются для записи цифр и
приписная межразрядная система счисления с основанием b .

Целое число в показательной позиционной системе счисления представляется в виде суммы произведений значений в разрядах (цифр) — $\ a_{k}$ на k -е степени числа b :

x_{a,b}=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}

, где:

k — число от 0 до n-1 , номер числового разрядa ,
n — число разрядов,
с — основание системы кодирования, с равно размерности множества a={0,1,…,c-1} из которого берутся цифры a _k ,
a _k — целые числа из множества a , называемые цифрами,
b — число, основание межразрядной показательной весовой функции,
b ^k — числа межразрядной функции, весовые коэффициенты разрядов.

Каждое произведение $\ a_{k}b^{k}$ в такой записи называется (a, b)-ичным разрядом.

При c=b образуются (b, b) -ичные системы счисления с произведением — a _k b ^k и суммой — $\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}$ , которые при b=3 превращаются в обычную (3,3) -ичную (троичную) систему счисления. При записи первый индекс часто опускается, иногда, когда есть упоминание в тексте, опускается и второй индекс.

Весовой коэффициент разряда — b ^k — приписной и, в общем случае, может быть необязательно показательной функцией от номера разряда — k , и необязательно степенью числа 3 . Множество значений a _k более ограниченно и более связано с аппаратной частью — числом устойчивых состояний триггеров или числом состояний группы триггеров в одном разряде регистра . В общем случае, a _k могут быть тоже необязательно из троичного множества a={0,1,2}, но, чтобы спаренной системе быть троичной и называться троичной, как минимум, одна из двух систем должна быть троичной. a _k -е ближе к аппаратной части и по a _k -м из множества a={0,1,2} или из множества a={-1,0,+1}, определяется система кодирования: несимметричная троичная или симметричная троичная.

Показательные троичные системы счисления

Целое число $x$ в показательной позиционной троичной системе записывают в виде последовательности его цифр (строки цифр), перечисляемых слева направо по убыванию старшинства разрядов:

x_{a,b}=(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0})_{a,b}.

В показательных системах счисления значениям разрядов приписываются весовые коэффициенты $b^{k}$ , в записи они опускаются, но подразумевается, что k -й разряд справа налево имеет весовой коэффициент равный $b^{k}$ .

Из комбинаторики известно, что количество записываемых кодов равно числу размещений с повторениями :

{\bar {A}}(a,n)={\bar {A}}_{a}^{n}=a^{n}=3^{n},

где a = 3 — 3-элементное множество a = {0, 1, 2}, из которого берутся цифры a _k , n — число элементов (цифр) в числе x _{3,

b} .

Количество записываемых кодов не зависит от основания показательной функции — b , которое определяет диапазон представляемых числами x _{3,

b} величин.

Дробное число записывается и представляется в виде

x_{a,b}=(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{a,b}=\sum _{k=-m}^{n-1}a_{k}b^{k},

где m — число разрядов дробной части числа справа от запятой;

при m = 0 дробная часть отсутствует, число — целое,
при a _k из троичного множества a = {0, 1, 2} и b = 1 образуется непозиционная троичная система счисления с одинаковыми весовыми коэффициентами всех разрядов равными 1 ^k = 1,
при a _k из двоичного множества a = {0, 1} и b = 3 в сумме будут только целые степени — 3 ^k ,
при a _k из троичного множества a = {0, 1, 2} и b = 3 в сумме будут целые и удвоенные степени 3, система счисления становится обычной несимметричной троичной системой счисления, a _k удовлетворяют неравенству $0\leqslant a_{k}\leqslant (b-1)<b$ , то есть $0\leqslant a_{k}\leqslant 2<3$ ,
при a _k из десятичного множества a = {0, 1, ..., 9} и b = 3 в сумме будут целые степени 3 умноженные на 1, 2, ..., 9.

В некоторых случаях этого может оказаться недостаточно, в таких случаях можно применить стро́енные (комтринированные), счетверённые и другие системы счисления.

Троичные системы счисления с дополнительным сомножителем

В показательных позиционных троичных системах счисления в вес разряда можно ввести дополнительный сомножитель. Например, сомножитель (b/с):

x_{a,b,c}=(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{a,b,c}=\sum _{k=-m}^{n-1}a_{k}b^{k}(b/c)

В общем случае c≠3.
При a _k из a={0,1,2}, b=3 и c=3 образуется обычная несимметричная троичная система счисления.
При a=2, b=3 и c=2 образуется (2,3,2)-ичная система счисления с дополнительным нецелочисленным весовым коэффициентом в произведении равным (3/c)=(3/2)=1,5.
При других значениях a, b и c образуются другие показательные позиционные системы счисления с дополнительным сомножителем (b/c), число которых бесконечно.
Возможны бесконечные множества и других составных систем счисления.

Кодирование троичных цифр

Одна троичная цифра может кодироваться разными способами.

Трёхуровневые системы кодирования троичных цифр

1. Трёхуровневое кодирование троичных цифр (3-Level LevelCoded Ternary, 3L LCT, «однопроводное»):
Число трёхуровневых систем кодирования троичных цифр равно числу перестановок :

P_{3}=A_{3}^{3}={\frac {3!}{(3-3)!}}={\frac {3!}{0!}}=3!=6,

из них одна

1.1. Симметричная {-1,0,+1}
+U — (+1) ;
0 — (0) ;
-U — (-1) ,
1.2. Сдвинутая на +1 {0,1,2}
1.3. Сдвинутая на +2 {1,2,3}

Двухуровневые системы кодирования троичных цифр

2. Двухбитные двоичнокодированые троичные цифры (2-Bit BinaryCodedTernary, 2B BCT representation, «двухпроводное») с использованием 3-х кодов из 4-х возможных :
Число возможных 2B BCT систем кодирования троичных цифр равно числу сочетаний без повторения :

{n \choose k}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!\left(n-k\right)!}}={4 \choose 3}={\frac {4!}{3!\left(4-3\right)!}}=4,

умноженному на число перестановок в каждом наборе из 3-х цифр:

P_{3}=A_{3}^{3}={\frac {3!}{(3-3)!}}={\frac {3!}{0!}}=3!=6,

то есть 4*6 = 24.

Вот некоторые из них:
2.1.
(1,0) — 2 ;
(0,1) — 1 ;
(0,0) — 0.
2.2.
(1,1) — 2;
(0,1) — 1;
(0,0) — 0.
3. Двухбитные двоичнокодированые троичные цифры (2-Bit BinaryCodedTernary, 2B BCT representation, «двухпроводное») с использованием всех 4-х кодов из 4-х возможных (два из 4-х кодов кодируют одну и туже троичную цифру из 3-х).
3.1.
Вот одна из них :
(0,0) — «0»
(1,1) — «0»
(0,1) — «-1»
(1,0) — «+1»
4. Трёхбитные двоичнокодированые троичные цифры (3-Bit BinaryCodedTernary, 3B BCT representation, «трёхпроводное») с использованием 3-х кодов из 8-ми возможных:
Число возможных 3B BCT систем кодирования троичных цифр равно числу сочетаний без повторения :

{n \choose k}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!\left(n-k\right)!}}={8 \choose 3}={\frac {8!}{3!\left(8-3\right)!}}=54,

умноженному на число перестановок в каждом наборе из 3-х цифр:

P_{3}=A_{3}^{3}={\frac {3!}{(3-3)!}}={\frac {3!}{0!}}=3!=6,

то есть 54*6 = 324.

Вот некоторые из них:
3.1.
(1,0,0) — 2;
(0,1,0) — 1;
(0,0,1) — 0.
3.2.
(0,1,1) — 2;
(1,0,1) — 1;
(0,1,0) — 0.
3.3.
(1,1,1) — 2;
(0,1,1) — 1;
(0,0,1) — 0.
3.4.
(0,0,0) — 2;
(1,0,0) — 1;
(1,1,0) — 0.
3.5.
(1,0,0) — 2;
(1,1,0) — 1;
(1,1,1) — 0.
3.6.
(0,1,1) — 2;
(0,0,1) — 1;
(0,0,0) — 0.
3.7.
(1,0,1) — 2;
(0,1,0) — 1;
(0,0,0) — 0.
и др.

Сравнение с двоичной системой счисления

При поразрядном сравнении троичная система счисления оказывается более ёмкой, чем двоичная система счисления.
При девяти разрядах двоичный код имеет ёмкость $2^{9}=512$ чисел, а троичный код имеет ёмкость $3^{9}=19683$ числа, то есть в $3^{9}/2^{9}=38,4$ раза больше.
При двадцати семи разрядах двоичный код имеет ёмкость $2^{27}=134217728$ чисел, а троичный код имеет ёмкость $3^{27}=7625597484987$ чисел, то есть в $3^{27}/2^{27}=56815,13$ раз больше.

Свойства

Троичная позиционная показательная несимметричная система счисления по затратам числа знаков (в трёхразрядном десятичном числе 3*10=30 знаков) наиболее экономична из позиционных показательных несимметричных систем счисления. А. Кушнеров приписывает эту теорему Джону фон Нейману .

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в троичную

Для перевода целое десятичное число делят нацело с остатком (целочисленное деление) на 3 до тех пор, пока частное больше нуля. Остатки, записанные слева направо от последнего к первому являются целым несимметричным троичным эквивалентом целого десятичного числа.
Пример: десятичное целое число 48 _10,10 переведём в несимметричное троичное целое число:
число = 48 _10,10 делим на 3, частное = 16, остаток a ₀ = 0
частное = 16 _10,10 делим на 3, частное = 5, остаток a ₁ = 1
частное = 5 _10,10 делим на 3, частное = 1, остаток a ₂ = 2
частное = 1 _10,10 делим на 3, частное = 0, остаток a ₃ = 1
Частное не больше нуля, деление закончено.
Теперь, записав все остатки от последнего к первому слева направо, получим результат 48 _10,10 = (a ₃ a ₂ a ₁ a ₀ ) _3,3 = 1210 _3,3 .

Симметричная троичная система счисления

Позиционная целочисленная симметричная троичная система счисления была предложена итальянским математиком Фибоначчи (Леонардо Пизанский) (1170—1250) для решения «задачи о гирях». Задачу о наилучшей системе гирь рассматривал Лука Пачоли (XV в.). Частный случай этой задачи был опубликован в книге французского математика Клода Баше де Мезириака «Сборник занимательных задач» в 1612 году (русский перевод книги К. Г. Баше «Игры и задачи, основанные на математике» вышел в Петербурге только в 1877 г.). В 1797 году в России был издан закон «Об учреждении повсеместно в Российской империи верных весов питейных и хлебных мер». Для взвешивания товаров допускались только гири следующих весов: в 1 и 2 пуда, в 1, 3, 9, 27 фунтов и в 1, 3, 9, 27 и 81 золотник . Как приложение к закону была издана таблица для взвешивания товаров от 1 фунта до 40 фунтов при помощи гирь в 1, 3, 9, 27 фунтов и для взвешивания товаров от 1 золотника до 96 золотников при помощи гирь в 1, 3, 9, 27 и 81 золотник . Этой задачей занимался петербургский академик Леонард Эйлер , а позже интересовался Д. И. Менделеев .

Симметричность при взвешивании на рычажных весах использовали с древнейших времён, добавляя гирю на чашу с товаром. Элементы троичной системы счисления были в системе счисления древних шумеров, в системах мер, весов и денег, в которых были единицы равные 3. Но только в симметричной троичной системе счисления Фибоначчи объединены оба этих свойства.

Симметричная система позволяет изображать отрицательные числа, не используя отдельный знак минуса. Число 2 изображается цифрой 1 в разряде троек и цифрой ${\bar {1}}$ (минус единица) в разряде единиц. Число −2 изображается цифрой ${\bar {1}}$ (минус единица) в разряде троек и цифрой 1 в разряде единиц.
Возможны шесть соответствий цифр (знаков) троичной симметричной системы счисления и цифр (знаков) троичной несимметричной системы счисления:

	1.	2.	3.	4.	5.	6.

1	2	1	0	0	2	1
0	1	0	2	1	0	2
1	0	2	1	2	1	0

В соответствии 2. сохраняются числовые значения 0 и 1.

Десятичная система	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Троичная несимметричная	−100	−22	−21	−20	−12	−11	−10	−2	−1	1	2	10	11	12	20	21	22	100
Троичная симметричная	1 00	1 01	1 1 1	1 10	1 11	11	1 0	1 1	1	1	1 1	10	11	1 11	1 1 0	1 1 1	10 1	100

В троичной симметричной системе счисления знак 1 можно заменить знаком (не числом) i или 2 и, во втором случае, использовать для троичной симметричной системы счисления {-1,0,+1} знаки троичной несимметричной системы {2,0,1}.

Свойства

Благодаря тому что основание 3 нечётно, в троичной системе возможно симметричное относительно нуля расположение цифр: −1, 0, 1, с которым связано шесть ценных свойств:

Естественность представления отрицательных чисел;
Отсутствие проблемы округления: обнуление ненужных младших разрядов округляет — приближает число к ближайшему «грубому».
Таблица умножения в этой системе, как отметил О. Л. Коши , примерно в четыре раза короче. (стр.34).
Для изменения знака представляемого числа нужно изменить ненулевые цифры на симметричные.
При суммировании большого количества чисел значение для переноса в следующий разряд растёт с увеличением количества слагаемых не линейно, а пропорционально квадратному корню числа слагаемых.
По затратам количества знаков на представление чисел она равна троичной несимметричной системе.

Представление отрицательных чисел

Наличие положительной и отрицательной цифр позволяет непосредственно представлять как положительные, так и отрицательные числа. При этом нет необходимости в специальном разряде знака и не надо вводить дополнительный (или обратный) код для выполнения арифметических операций с отрицательными числами. Все действия над числами, представленными в троичной симметричной системе счисления, выполняются, естественно, с учётом знаков чисел. Знак числа определяется знаком старшей значащей цифры числа: если она положительна, то и число положительно, если отрицательна, то и число отрицательно. Для изменения знака числа надо изменить знаки всех его цифр (то есть инвертировать его код инверсией Лукасевича). Например:

10{\bar {1}}=9-1=8

{\bar {1}}01=-9+1=-8

Округление

Другим полезным следствием симметричного расположения значений цифр является отсутствие проблемы округления чисел: абсолютная величина части числа, представленной отбрасываемыми младшими цифрами, никогда не превосходит половины абсолютной величины части числа, соответствующей младшей значащей цифре младшего из сохраняемых разрядов. Следовательно, в результате отбрасывания младших цифр числа получается наилучшее при данном количестве оставшихся цифр приближение этого числа, и округление не требуется.

Перевод чисел из десятичной системы в троичную

Перевод чисел из десятичной системы в троичную и соответствующий ему вопрос о гирях подробно изложены в книгах . Там же рассказано о применении троичной системы гирь в русской практике.

Перевод в другие системы счисления

Всякое число, записанное в троичной системе счисления с цифрами 0, 1, −1, можно представить в виде суммы целых степеней числа 3, причём если в данном разряде троичного изображения числа стоит цифра 1, то соответствующая этому разряду степень числа 3 входит в сумму со знаком «+», если же цифра −1, то со знаком «-», а если цифра 0, то вовсе не входит. Это можно представить формулой

\cdots +K_{3}\cdot 3^{3}+K_{2}\cdot 3^{2}+K_{1}\cdot 3^{1}+K_{0}\cdot 3^{0}+K_{-1}\cdot 3^{-1}+K_{-2}\cdot 3^{-2}+K_{-3}\cdot 3^{-3}+\cdots

, где

\cdots +K_{3}\cdot 3^{3}+K_{2}\cdot 3^{2}+K_{1}\cdot 3^{1}+K_{0}\cdot 3^{0}

— целая часть числа,

\cdots +K_{-1}\cdot 3^{-1}+K_{-2}\cdot 3^{-2}+K_{-3}\cdot 3^{-3}+\cdots

— дробная часть числа,

причём коэффициенты K могут принимать значения { 1, 0, −1 }.

Для того чтобы число, представленное в троичной системе, перевести в десятичную систему, надо цифру каждого разряда данного числа умножить на соответствующую этому разряду степень числа 3 (в десятичном представлении) и полученные произведения сложить.

Практические применения

Работая в палате мер и весов , Д. И. Менделеев, с учётом симметричной троичной системы счисления, разработал цифровой ряд значений весов разновеса для взвешивания на лабораторных весах , который используется по сей день.
Следствием из задачи Фибоначчи о гирях является то, что применение троичности в номиналах денежных систем (3 коп., 15 коп., 3 руб.) упрощает набор и суммы и сдачи и уменьшает количество денежных знаков в обороте (количество монет и вес монет для монет или количество листов и вес листов для банкнот).
Симметричная троичная система использовалась в советской ЭВМ Сетунь .

Таблицы сложения в троичных системах счисления

В троичной несимметричной системе счисления

+	0	1	2
2	02	10	11
1	01	02	10
0	00	01	02

В троичной симметричной системе счисления

+	1	0	1
1	00	01	1 1
0	0 1	00	01
1	1 1	0 1	00

Девятеричная форма представления команд

Представление команд троичным кодом при программировании и при вводе в машину неудобно и неэкономно, поэтому вне машины применяется девятеричная форма представления команд. Девятеричные цифры ${\bar {4}},{\bar {3}},{\bar {2}},{\bar {1}},0,1,2,3,4$ сопоставляются парам троичных цифр:

{\bar {1}}{\bar {1}}={\bar {4}};\quad {\bar {1}}0={\bar {3}};\quad {\bar {1}}1={\bar {2}};\quad 0{\bar {1}}={\bar {1}};\quad 00=0;

11=4;\quad 10=3;\quad 1{\bar {1}}=2;\quad 01=1.

При выводе из машины отрицательные девятеричные цифры обозначают буквами:

Девятеричная цифра	${\bar {1}}$	${\bar {2}}$	${\bar {3}}$	${\bar {4}}$
Буква латинского алфавита	Z	Y	X	W
Буква русского алфавита	Ц	У	Х	Ж

См. также

Примечания

Н. А. Криницкий, Г. А. Миронов, Г. Д. Фролов, под ред. М. Р. Шура-Бура. Глава 10. Программно-управляемая машина «Сетунь» // Программирование . — М. , 1963.
от 7 октября 2013 на Wayback Machine Троичная цифровая техника. Ретроспектива и современность
. Дата обращения: 30 сентября 2012. 21 января 2022 года.
. Дата обращения: 29 сентября 2012. Архивировано из 30 марта 2022 года.
С. В. Фомин . . — М. : Наука , 1987. — 48 с. — ( Популярные лекции по математике ). 16 октября 2004 года. ( от 2 июня 2013 на Wayback Machine )
↑ А. Кушнеров от 7 октября 2013 на Wayback Machine
Удивительное свойство троичной системы счисления]
. Дата обращения: 22 января 2019. 29 октября 2018 года.
О. А. Акулов, Н. В. Медведев. Информатика и вычислительная техника. 4-е изд. — М.: Омега-Л, 2007. (Раздел I, Гл.3.3)
. Дата обращения: 22 января 2019. 22 января 2019 года.
от 31 марта 2022 на Wayback Machine Перевод из системы с большим основанием — в систему с меньшим
от 11 июня 2008 на Wayback Machine .
Депман И. Я. Возникновение системы мер и способов измерения величин. Выпуск 1. (Москва: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР (Учпедгиз), 1956. — Серия «Библиотека школьника»). Глава VIII. § Использование наиболее удобной системы гирь в России. Стр.118
↑ С. Б. Гашков. § 11. Д. И. Менделеев и троичная система // . — М. : МЦНМО , 2004. — ( Библиотека «Математическое просвещение» ). 12 января 2014 года. . Дата обращения: 18 октября 2009. Архивировано 12 января 2014 года. В Google Chrome после нажатия на PDF(333Kb) нужно стронуть одну из боковых сторон рамки браузера.
Е. С. Давыдов, Наименьшие группы чисел для образования натуральных рядов, Спб., 1903, 36 стр.
В. Ф. Гартц, Лучшая система для весовых гирь, Спб., 1910, 36 стр.
Ф. А. Слудский, О свойствах степеней двух и трёх. «Математический сборник», ч. III, стр. 214.
Юрий Ревич «Наследники Бэббиджа» // «Домашний компьютер», № 12, 1 декабря 2002 года.
И. Я. Депман. «Меры и метрическая система», Учпедгиз, 1955.
И. Я. Депман. «Возникновение системы мер и способов измерения величин», вып. 1, Учпедгиз, 1956.

Литература

Брусенцов Н. П., С. П. Маслов, В. П. Розин, А. М. Тишулина «Малая цифровая вычислительная машина Сетунь », Издательство Московского университета, 1965.
Фомин С. В. . — М. : Наука, 1987. — 48 с. — ( Популярные лекции по математике ).