Двои́чный код — это способ представления данных в виде кода , в котором каждый разряд принимает одно из двух возможных значений, обычно обозначаемых цифрами 0 и 1. Разряд в этом случае называется двоичным разрядом .

В случае обозначения цифрами «0» и «1», возможные состояния двоичного разряда наделяются качественным соотношением «1» > «0» и количественными значениями чисел «0» и «1».

Двоичный код может быть непозиционным и позиционным . Позиционный двоичный код лежит в основе двоичной системы счисления , широко распространенной в современной цифровой технике .

Описание

Из комбинаторики известно, что, в случае непозиционного кода , количество комбинаций (кодов) n-разрядного кода является числом сочетаний с повторениями , равно биномиальному коэффициенту :

${\displaystyle {n+k-1 \choose k}=(-1)^{k}{-n \choose k}={\frac {\left(n+k-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}}}$ , [возможных состояний (кодов)], где:

${\displaystyle n}$ — количество элементов в данном множестве различных элементов (количество возможных состояний, цифр, кодов в разряде),
${\displaystyle k}$ — количество элементов в наборе (количество разрядов).
В двоичной системе кодирования (n=2) количество возможных состояний (кодов) равно :

${\displaystyle {\frac {\left(n+k-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}}={\frac {\left(2+k-1\right)!}{k!\left(2-1\right)!}}={\frac {\left(k+1\right)!}{k!1!}}=k+1}$ , [возможных состояний (кодов)], то есть

описывается линейной функцией :

${\displaystyle N_{kp}(k)=k+1}$ , [возможных состояний (кодов)], где

${\displaystyle k}$ — количество двоичных разрядов .
Например, в одном 8-битном байте (k=8) количество возможных состояний (кодов) равно:

${\displaystyle N_{kp}(k)=k+1=8+1=9}$ , [возможных состояний (кодов)].

В случае позиционного кода , число комбинаций (кодов) k -разрядного двоичного кода равно числу размещений с повторениями :

${\displaystyle N_{p}(k)={\bar {A}}(2,k)={\bar {A}}_{2}^{k}=2^{k}}$ , где

${\displaystyle \ k}$ — число разрядов двоичного кода.

Используя два двоичных разряда можно закодировать четыре различные комбинации: 00 01 10 11, три двоичных разряда — восемь: 000 001 010 011 100 101 110 111, и так далее.
При увеличении разрядности позиционного двоичного кода на 1, количество различных комбинаций в позиционном двоичном коде удваивается.

Двоичные коды являются комбинациями двух элементов и не являются двоичной системой счисления , но используются в ней как основа. Двоичный код также может использоваться для кодирования чисел в системах счисления с любым другим основанием. Пример: в двоично-десятичном кодировании ( BCD ) используется двоичный код для кодирования чисел в десятичной системе счисления .
При кодировании алфавитноцифровых символов ( знаков ) двоичному коду не приписываются весовые коэффициенты, как это делается в системах счисления , в которых двоичный код используется для представления чисел , а используется только порядковый номер кода из множества размещений с повторениями .

В системах счисления k -разрядный двоичный код, (k-1) -разрядный двоичный код, (k-2) -разрядный двоичный код и т. д. могут отображать одно и то же число. Например, 0001, 001, 01, 1 — одно и то же число — «1» в двоичных кодах с разным числом разрядов — k .

Примеры двоичных чисел

В таблице показаны первые 16 двоичных чисел и их соответствие десятичным и шестнадцатиричным числам.

Десятичное число	Шестнадцатеричное число	Двоичное число
0	0	0000
1	1	0001
2	2	0010
3	3	0011
4	4	0100
5	5	0101
6	6	0110
7	7	0111
8	8	1000
9	9	1001
10	A	1010
11	B	1011
12	C	1100
13	D	1101
14	E	1110
15	F	1111

Примеры «доисторического» использования кодов

• Инки имели свою счётную систему кипу , известную с III тысячелетия до н. э, которая физически представляла собой верёвочные сплетения и узелки. В 2006 году американский исследователь обнаружил, что в узелках заложен некий код, более всего похожий на двоичную систему счисления . Их код допускает 2 ⁷ =128 вариаций.

• Древнекитайская система гадания основанная на гексаграммах была описана в Книге Перемен датируемый ок. 700 г. до. н. э.. Их код допускает 2 ⁶ =64 вариации.

См. также

• Троичный код
• Двоичная система счисления
• Унитарный код

Примечания