В теории чисел факториальным простым числом называется простое число , на единицу ме́ньшее или на единицу бо́льшее факториала .

Несколько первых факториальных простых :

2 = 0! + 1 = 1! + 1,

3 = 2! + 1,

5 = 3! − 1,

7 = 3! + 1,

23 = 4! − 1,

719 = 6! − 1,

5039 = 7! − 1,

39 916 801 = 11! + 1,

479 001 599 = 12! − 1,

87 178 291 199 = 14! − 1, …

n ! + 1 является простым числом при

n = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, 340, 399, 427, 872, 1477, 6380, 26 951, 110 059 , 150 209 , 288 465, 308 084, 422 429

Всего известно 24 простых чисел вида n ! + 1, причем число 2 можно получить двумя способами (как 0!+1 и 1!+1).

n ! − 1 является простым числом при

n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, 379, 469, 546, 974, 1963, 3507, 3610, 6917, 21 480, 34 790, 94 550 , 103 040 , 147 855 , 208 003

Всего известно 27 чисел простых чисел вида n ! - 1.

Нерешённые проблемы математики : Бесконечно ли количество факториальных простых чисел?

Никаких других факториальных простых по состоянию на 2023 год не известно.

Если ни предыдущее, ни последующее число для факториала n ! не является простым, возникает относительно большой промежуток между двумя последовательными простыми, поскольку n ! ± k делится на k для 2 ≤ k ≤ n . Например, простое, следующее за 6 227 020 777 = 13! − 23, равно 6 227 020 867 = 13! + 67 (то есть следуют 89 составных чисел). Заметим, что это не самый эффективный способ поиска больших интервалов между простыми числами . Так, например, между простыми 360 653 и 360 749 находятся 95 составных.

См. также

• Праймориальное простое
• PrimeGrid

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• (неопр.) . Prime Pages.
• (неопр.) . PrimeGrid .