Простое число Эйзенштейна — число Эйзенштейна :

${\displaystyle z=a+b\,\omega \qquad (\omega =e^{2\pi i/3})}$ ,

являющееся неприводимым (или, эквивалентно, простым ) элементом Z [ω] в смысле теории колец. Делителями простых чисел Эйзенштейна являются только обратимые элементы (±1, ±ω, ±ω ² ), a + b ω и их произведения.

Умножение на обратимый элемент и сопряжение любого простого числа Эйзенштейна также является простым числом Эйзенштейна.

Целое число Эйзенштейна z = a + b ω является простым числом Эйзенштейна тогда и только тогда , когда выполняется одно из следующих взаимоисключающих условий:

1. z является произведением обратимого элемента на натуральное простое вида 3 n − 1,
2. | z | ² = a ² − ab + b ² является натуральным простым (сравнимым с 0 или 1 по модулю 3).

Отсюда следует, что абсолютное значение квадрата любого целого числа Эйзенштейна является либо простым числом, либо квадратом простого числа.

Несколько первых простых чисел Эйзенштейна, равных натуральным простым 3 n − 1:

2 , 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , 41 , 47 , 53 , , 71 , 83 , 89 , 101 (последовательность в OEIS ).

Все натуральные простые, сравнимые с 0 или 1 по модулю 3, не являются простыми Эйзенштейна: они разложимы на нетривиальные множители в Z [ω]. Примеры:

3 = −(1 + 2ω) ²

7 = (3 + ω)(2 − ω).

Несколько простых чисел Эйзенштейна, не являющихся натуральными:

2 + ω, 3 + ω, 4 + ω, 5 + 2ω, 6 + ω, 7 + ω, 7 + 3ω.

С точностью до сопряжения и умножения на единицы, приведенные выше числа, вместе с 2 и 5, — это все простые числа Эйзенштейна, не превосходящие по абсолютному значению 7.

По состоянию на 2017 год наибольшим известным действительным простым числом Эйзенштейна является 10223 × 2 ^31172165 + 1, открытое проектом PrimeGrid .

Все большие известные простые являются простыми числами Мерсенна и были найдены с помощью GIMPS . Действительные простые Эйзенштейна сравнимы с 2 по модулю 3, а простые числа Мерсенна (за исключением наименьшего и них, 3) сравнимы с 1 по модулю 3. Таким образом, никакое простое число Мерсенна не является простым числом Эйзенштейна.

См. также

• Гауссовы целые числа

Ссылки