Interested Article - Число Пелля
- 2021-03-04
- 1
Число Пелля — целое число , входящее в качестве знаменателя в бесконечную последовательность подходящих дробей для квадратного корня из 2 . Эта последовательность приближений начинается следующим образом: , то есть первые числа Пелля — 1, 2, 5, 12 и 29. Числители той же последовательности приближений являются половинами сопутствующих чисел Пелля или числами Пелля — Люка — бесконечной последовательностью, начинающейся с 2, 6, 14, 34 и 82.
Обе последовательности, числа Пелля и сопутствующие числа Пелля, могут быть вычислены с помощью рекуррентного соотношения , похожего на формулы для чисел Фибоначчи , и обе последовательности чисел растут экспоненциально , пропорционально степени серебряного сечения .
Кроме использования в цепной дроби приближений к квадратному корню из двух, числа Пелля могут быть использованы для поиска квадратных треугольных чисел и для решения некоторых комбинаторных задач перечисления .
Последовательность чисел Пелля известна с древних времен. Как и уравнение Пелля , числа Пелля ошибочно приписаны Леонардом Эйлером Джону Пеллю . Числа Пелля — Люка названы в честь Эдуарда Люка , который изучал эти последовательности. И числа Пелля, и сопутствующие числа Пелля, являются частными случаями последовательностей Люка .
Числа Пелля
Числа Пелля задаются линейным рекуррентным соотношением :
и являются частным случаем последовательности Люка .
Первые несколько чисел Пелля
Числа Пелля можно выразить формулой
Для больши́х значений n член доминирует в этом выражении, так что числа Пелля примерно пропорциональны степеням серебряного сечения , аналогично тому, как числа Фибоначчи примерно пропорциональны степеням золотого сечения .
Возможно и третье определение — в виде матричной формулы
Многие тождества могут быть доказаны из этих определений, например тождество, аналогичное тождеству Кассини для чисел Фибоначчи,
как немедленное следствие матричной формулы (подставляя определители матриц слева и справа) .
Приближение к квадратному корню из двух
Числа Пелля возникли исторически из рациональных приближений к квадратному корню из 2 . Если два больших целых x и y дают решение уравнения Пелля
то их отношение дает близкое приближение к . Последовательность приближений этого вида
где знаменатель каждой дроби — число Пелля, а числитель равен сумме числа Пелля и его предшественника в последовательности. Таким образом, приближения имеют вид .
Приближение
этого типа было известно математикам Индии в третьем—четвертом столетии до нашей эры . Греческие математики пятого столетия до нашей эры также знали об этом приближении . Платон ( Plato ) ссылается на числители как рациональные диаметры . Во втором столетии нашей эры Теон Смирнский использовал термины сторона и диаметр для описания знаменателя и числителя этой последовательности .
Эти приближения могут быть получены из цепной дроби :
Конечная часть цепной дроби дает аппроксимацию в виде чисел Пелля. Например,
Как писал Кнут (1994), факт аппроксимации числами Пелля позволяет использовать их для рационального приближения к правильному восьмиугольнику с координатами вершин и . Все вершины этого восьмиугольника одинаково удалены от центра и формируют почти одинаковые углы. Также точки , и формируют восьмиугольник, у которого вершины почти одинаково удалены от центра и формируют одинаковые углы.
Простые и квадраты
Простым числом Пелля называется число Пелля, являющееся также простым . Несколько первых простых чисел Пелля
- 2, 5, 29, 5741, … (последовательность в OEIS )
Как и в случае с числами Фибоначчи, число Пелля может быть простым только если n само просто.
Имеется всего три числа Пелля, являющимися квадратами, кубами и другими более высокими степенями, — это 0, 1 и 169 = 13 2 .
Несмотря на то, что имеется столь мало квадратов и других степеней среди чисел Пелля, они имеют близкую связь с квадратными треугольными числами . Эти числа возникают из следующего тождества:
Левая часть этого тождества даёт квадратное число , в то время как правая часть даёт треугольное число , так что в результате получим квадратное треугольное число.
Сантана (Santana) и Диац-Барреро (Diaz-Barrero) (2006) доказали другое тождество, связывающее числа Пелля с квадратами, показав, что сумма чисел Пелля до всегда квадрат:
Например, сумма чисел Пелля до , , является квадратом числа .
Числа , образующие квадратные корни таких сумм,
- 1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47 321, … (последовательность в OEIS ),
известны как простые числа Ньюмена — Шэнкса — Уильямса .
Пифагоровы тройки
Если прямоугольный треугольник имеет стороны a , b , c (по теореме Пифагора a 2 + b 2 = c 2 ), то ( a , b , c ) известны как пифагоровы тройки . Мартин (Martin) (1875) пишет, что числа Пелля могут быть использованы для формирования пифагоровых троек, в которых a и b отличаются на единицу, что соответствует почти равнобедренному прямоугольному треугольнику. Каждая такая тройка имеет вид
Последовательность пифагоровых троек, полученного таким способом
- (4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ….
Числа Пелля — Люка
Сопутствующие числа Пелля или числа Пелля — Люка определяются линейным рекуррентным соотношением :
То есть, первые два числа в последовательности равны 2, а все остальные формируются как сумма удвоенного предыдущего числа Пелля — Люка и предшествующего ему, или, что эквивалентно, сложением следующего числа Пелля и предыдущего числа. Так, сопровождающим для 82 является число 29, и 82 = 2 · 34 + 14 = 70 + 12.
Сопутствующие числа Пелля образуют последовательность:
Сопутствующие числа Пелля можно выразить формулой:
Все эти числа чётны, каждое из них является удвоенным числителем в приближении рациональными числами к .
Вычисления и связи
Следующая таблица даёт несколько первых степеней серебряного сечения и связанного с ним .
0 | ||
1 | ||
2 | ||
3 | ||
4 | ||
5 | ||
6 | ||
7 | ||
8 | ||
9 | ||
10 | ||
11 | ||
12 |
Коэффициенты представляют собой половины сопутствующих чисел Пелля и числа Пелля , являющиеся неотрицательными решениями уравнения .
Квадратное треугольное число — это число , которое является как -м треугольным числом так и -м квадратным. Почти равнобедеренные пифагоровы тройки являются целыми решениями , где .
Следующая таблица показывает разложение нечетных на две почти одинаковые половинки, дающее квадратное треугольное число когда n четно и почти равнобедренную пифагорову тройку, когда n нечетно.
t | t+1 | s | a | b | c | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||
1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |||
2 | 3 | 2 | 1 | 2 | 1 | |||
3 | 7 | 5 | 3 | 4 | 5 | |||
4 | 17 | 12 | 8 | 9 | 6 | |||
5 | 41 | 29 | 20 | 21 | 29 | |||
6 | 99 | 70 | 49 | 50 | 35 | |||
7 | 239 | 169 | 119 | 120 | 169 | |||
8 | 577 | 408 | 288 | 289 | 204 | |||
9 | 1393 | 985 | 696 | 697 | 985 | |||
10 | 3363 | 2378 | 1681 | 1682 | 1189 | |||
11 | 8119 | 5741 | 4059 | 4060 | 5741 | |||
12 | 19601 | 13860 | 9800 | 9801 | 6930 |
Определения
Половины сопутствующих чисел Пелля и числа Пелля могут быть получены несколькими эквивалентными путями:
Возведение в степень :
Откуда следует:
и
Парные рекуррентные отношения :
или, в матричном виде :
Таким образом
Приближения
Разность и равна , что быстро стремится к нулю. Таким образом очень близко к .
Из этого наблюдения следует, что отношение целых быстро приближается к в то время как и быстро приближается к .
H 2 − 2 P 2 = ±1
Поскольку является иррациональным, мы не можем получить , то есть . Лучшее, что мы можем получить, это либо либо .
Неотрицательными решениями являются пары с четным n , и решениями являются пары с n нечетным.
Чтобы понять это, заметим
так что, начиная с знак чередуется ( ). Заметим теперь, что каждое положительное решение можно получить из решения с меньшим индексом благодаря равенству .
Квадратные треугольные числа
Требуемое равенство эквивалентно , что превращается в при подстановке и . Отсюда n -м решением будет и
Заметим, что и взаимно просты, так что возможно только тогда, когда они являются соседними целыми, одно — квадрат и другое — удвоенный квадрат . Поскольку мы знаем все решения уравнения, мы получаем
и
t | t+1 | s | a | b | c | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 0 | ||||||||
1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 1 | ||
2 | 3 | 2 | 8 | 9 | 6 | 3 | 4 | 5 | ||
3 | 7 | 5 | 49 | 50 | 35 | 21 | 20 | 29 | ||
4 | 17 | 12 | 288 | 289 | 204 | 119 | 120 | 169 | ||
5 | 41 | 29 | 1681 | 1682 | 1189 | 697 | 696 | 985 | ||
6 | 99 | 70 | 9800 | 9801 | 6930 | 4059 | 4060 | 5741 |
Триплеты Пифагора
Равенство верно только при , что превращается в при подстановке . Тогда n -м решением является и
Таблица выше показывает, что с точностью до порядка и равны и , в то время как
Примечания
- Например, Селлерс ( Sellers ) в 2002 году показал, что количество совершенных паросочетаний в декартовом произведении путей и графа K 4 - e может быть вычислено как произведение числа Пелля на соответствующие число Фибоначчи
- О матричной формуле и её следствиях смотрите Эрколано (Ercolano) (1979), Килик (Kilic) и Таски (Tasci) (2005). Другие тождества для чисел Пелля приведены Хорадамом (Horadam) (1971) и Бикнеллем (Bicknell) (1975).
- Это записано в . Смотрите, например, Дутка (Dutka) (1986), который цитировал Тибаута (Thibaut) (1875)
- Смотри Кнорра (Knorr) (1976) со ссылкой на пятое столетие, что соответствует утверждению Прокла , что числа были открыты пифагорейцами . Для более полного исследования о более поздних знаниях греков об этих числах смотри Томпсона (Thompson) (1929), Ведова (Vedova) (1951), Риденхоура (Ridenhour) (1986), Кнорра (Knorr) (1998), и Филепа (Filep) (1999).
- Например, в Государстве Платона имеется ссылка на «рациональный диаметр пяти», под которым Платон подразумевал 7, числитель приближения 7/5.
- . Дата обращения: 28 января 2013.
- Pethő (1992); Cohn (1996). Хотя числа Фибоначчи определяются рекуррентными формулами, очень похожими на формулы для чисел Пелля, Кон (Cohn) пишет, что аналогичные результаты для чисел Фибоначчи куда сложнее доказать (однако, они доказаны в 2006 году Бугеадом [Bugeaud]).
- Sesskin (1962).
Литература
- Bicknell, Marjorie. // . — 1975. — Т. 13 , вып. 4 . — С. 345—349 .
- Cohn, J. H. E. Perfect Pell powers // . — 1996. — Т. 38 , вып. 1 . — С. 19—20 . — doi : .
- Dutka, Jacques. // Archive for History of Exact Sciences . — 1986. — Т. 36 , вып. 1 . — С. 21—39 . — doi : .
- Ercolano, Joseph. // . — 1979. — Т. 17 , вып. 1 . — С. 71—77 .
- Filep, László. Pythagorean side and diagonal numbers // . — 1999. — Т. 15 . — С. 1–7 .
- Horadam, A. F. // . — 1971. — Т. 9 , вып. 3 . — С. 245—252, 263 .
- Kilic, Emrah; Tasci, Dursun. The linear algebra of the Pell matrix // , Tercera Serie. — 2005. — Т. 11 , вып. 2 . — С. 163—174 .
- Knorr, Wilbur. Archimedes and the measurement of the circle: A new interpretation // Archive for History of Exact Sciences . — 1976. — Т. 15 , вып. 2 . — С. 115—140 . — doi : .
- Knorr, Wilbur. // American Mathematical Monthly . — 1998. — Т. 105 , вып. 5 . — С. 421—429 . — doi : .
- Knuth, Donald E. // . — 1994. — Т. 78 , вып. 483 . — С. 274—297 . — doi : . — arXiv : .
- . Rational right angled triangles nearly isosceles // The Analyst . — 1875. — Т. 3 , вып. 2 . — С. 47—50 . — doi : . — .
- Pethő, A. Sets, graphs, and numbers (Budapest, 1991). — Colloq. Math. Soc. János Bolyai, 60, North-Holland, 1992. — С. 561—568.
- Ridenhour, J. R. // Mathematics Magazine . — Т. 59 , вып. 2 . — С. 95—105 . — doi : . — .
- Santana, S. F.; Diaz-Barrero, J. L. Some properties of sums involving Pell numbers // . — 2006. — Т. 18 , вып. 1 . 8 мая 2007 года.
- Sellers, James A. Domino tilings and products of Fibonacci and Pell numbers // Journal of Integer Sequences . — 2002. — Т. 5 .
- Sesskin, Sam. // Mathematics Magazine . — 1962. — Т. 35 , вып. 4 . — С. 215—217 . — doi : . — .
- Thibaut, George. On the Súlvasútras // . — 1875. — Т. 44 . — С. 227—275 .
- Thompson, D'Arcy Wentworth. // . — 1929. — Т. 38 , вып. 149 . — С. 43—55 . — .
- Vedova, G. C. // American Mathematical Monthly . — 1951. — Т. 58 , вып. 10 . — С. 675—683 . — doi : . — .
Ссылки
- Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
- 2021-03-04
- 1