Interested Article - Суперкорень
- 2021-03-04
- 1
В математике суперко́рень — это одна из двух обратных функций тетрации .
Так же как возведение в степень имеет две обратных функции ( корень и логарифм ), так и тетрация имеет две обратных функции: суперкорень и суперлогарифм . Это обусловлено некоммутативностью гипероператора при . Суперкорень не является элементарной функцией .
Определение
Для любого неотрицательного целого числа суперкорень -ой степени из можно определить, как одно из решений уравнения: .
Суперкорень — неоднозначная функция. Так при и уравнение вида имеет два суперкорня из , причём оба они будут положительны и меньше . Эта двойственность значений объясняется тем, что функция немонотонна .
Суперкорень не всегда можно извлечь даже из положительного числа, что является следствием наличия у функций вида глобального минимума. Например, при производная функции имеет одну точку экстремума , из-за чего нахождение значений суперкорня второй степени из при становится невозможным (см. график).
Примеры
Примеры извлечения суперкорня из положительного действительного числа:
- Суперкорень четвёртой степени из 65536 равен 2, так как
- Суперкорень второй степени из 27 равен 3, так как
- Суперкорень второй степени из имеет два значения: и , так как
Суперкорень второй степени и функция Ламберта
Функция суперкорня второй степени выражается через W-функцию Ламберта . А именно решением уравнения является
- .
Так как функция Ламберта является многозначной функцией на интервале , то и извлечения суперкорня второй степени является неоднозначной на .
Открытые проблемы
- Ни для какого целого неизвестно , является ли корень уравнения рациональным , алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом .
Примечания
- Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E. On the Lambert W function (неопр.) // Advances in Computational Mathematics. — 1996. — Т. 5 . — С. 333 . — doi : .
Ссылки
- .
- .
- .
- Кузнецов Д. // Владикавказский математический журнал. — 2010.
- 2021-03-04
- 1